Sottospazio vettoriale

[pablitos2]

verifica che l'insieme W8=(x,y,z)$in$ R^3| x^2+ 4xy+ 4y^2=0) sia sottospazio dello spazio vettoriale R^3

la prima proprietà che devo dimostrare è che 0 $in$ W8.....mentre la seconda è hv+kw $in$ W8...........ma dovrei risolvere prima l'equazione di secondo grado???? cioè come devo impostare l'esercizio??

[vittorino70]

Comincio con l'osservare che l'equazione \(\displaystyle x^2+4xy+4y^2=0 \) puoi anche scriverla come:
\(\displaystyle (x+2y)^2=0 \) e quindi la verifica la puoi fare sull'equazione più semplice :
(A) \(\displaystyle x+2y=0 \)
Essendo la (A) lineare ed omogenea rispetto ad x,y,z è praticamente ovvio che W8 sia un sottospazio vettoriale di R^3
ma puoi fare una verifica diretta.
Il vettore nullo O(0,0,0) di R^3 appartiene certamente a W8 in quanto con (0,0,0) la (A) è soddisfatta.
Ti resta da verificare la seconda condizione.Prendi due vettori generici di W8 e siano :
\(\displaystyle v=(a,b,c) ,w=(a',b',c')\)
con :
(1) \(\displaystyle a+2b=0,a'+2b'=0\)
Hai che :
\(\displaystyle hv+kw=h(a,b,c)+k(a',b',c')=(ha+ka',hb+kb',hc+kc') \)
A questo punto puoi verificare che anche hv+kw appartiene a W8.Infatti risulta :
\(\displaystyle (ha+ka')+2(hb+kb')=h(a+2b)+k(a'+2b') \)
e quindi per le (1) ottieni che :
\(\displaystyle (ha+ka)'+2(hb+kb') =0 \)
C.V.D.

[pablitos2]

GRAZIE MILLE