Sottospazio vettoriale
Considera il sottoinsieme $U={p(t) in RR_3[t] : p''(4) + p'(1) + p(0) = 0 }$
Verificare che U è un sottospazio vettoriale di $RR_3 [t]$
come devo considerarlo il sottoinsieme?
Verificare che U è un sottospazio vettoriale di $RR_3 [t]$
come devo considerarlo il sottoinsieme?
Risposte
nessuno ha qualche idea?
Dai un'occhiata al regolamento del forum. In tutti e due i tuoi interventi l'hai violato
il problema è che non so proprio come partire, cioè non so come studiare quel sottoinsieme
Ok, ma questo non ti autorizza a violare il regolamento.
Comunque, ragiona su questo: Come è fatto un generico polinomio di $RR^3 [t]$?
Comunque, ragiona su questo: Come è fatto un generico polinomio di $RR^3 [t]$?
ok grazie.
quindi, un polinomio di $RR_3$ si scrive come $p(t)=a+b*t+c*t^2+d*t^3$
faccio la derivata prima e seconda e va do a sostituire i valori 1 e 4 e 0 per p(0)
la condizione che definisce U è equivalente a: a+b+4*c+27*d=0
giusto?
quindi, un polinomio di $RR_3$ si scrive come $p(t)=a+b*t+c*t^2+d*t^3$
faccio la derivata prima e seconda e va do a sostituire i valori 1 e 4 e 0 per p(0)
la condizione che definisce U è equivalente a: a+b+4*c+27*d=0
giusto?
Sì, la condizione equivalente è proprio $a+b+4c+27d=0$
Ora devi verificare che $U$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$
Questo è vero se e solo se $AA p(t), q(t) in U$, $AA k,h in RR$ si ha $k*p(t)+h*q(t) in U$
Ora devi verificare che $U$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$
Questo è vero se e solo se $AA p(t), q(t) in U$, $AA k,h in RR$ si ha $k*p(t)+h*q(t) in U$
verifico le due proprietà dei sottospazi per l'insieme U
Prendo p(t) = ($a_0,a_1t,a_2t^2,a_3t^3$) e q(t) = ($b_0,b_1t,b_2t^2,b_3t^3$) $in$ U
a_0+a_1+4a_2+27a_3=0 e b_0+b_1+4b_2+27b_3=0
ho che p(t)+q(t) = $a_0+b_0,a_1+b_1,4a_2+4b_2,27a_3+27b_3$ e
$(a_0+b_0) + (a_1 + b_1) + (4a_2 + 4b_2) + (27a_3 + 27b_3) = (a_0+a_1+4a_2+27a_3)+(b_0+b_1+4b_2+27b_3) =0$
Quindi p(t)+q(t) $in$ U
qualsiasi sia p(t) = ($a_0,a_1,4a_2,27a_3$) e λ $in$ R ho che
λp(t)= ($λa_0,λa_1,λ4a_2,λ27a_3$)
e λa_0 + λa_1 + λ4a_2 + λ27a_3= λ(a_0 + a_1 + 4a_2 + 27a_3)=0 quindi λp(t) $in$ U
Prendo p(t) = ($a_0,a_1t,a_2t^2,a_3t^3$) e q(t) = ($b_0,b_1t,b_2t^2,b_3t^3$) $in$ U
a_0+a_1+4a_2+27a_3=0 e b_0+b_1+4b_2+27b_3=0
ho che p(t)+q(t) = $a_0+b_0,a_1+b_1,4a_2+4b_2,27a_3+27b_3$ e
$(a_0+b_0) + (a_1 + b_1) + (4a_2 + 4b_2) + (27a_3 + 27b_3) = (a_0+a_1+4a_2+27a_3)+(b_0+b_1+4b_2+27b_3) =0$
Quindi p(t)+q(t) $in$ U
qualsiasi sia p(t) = ($a_0,a_1,4a_2,27a_3$) e λ $in$ R ho che
λp(t)= ($λa_0,λa_1,λ4a_2,λ27a_3$)
e λa_0 + λa_1 + λ4a_2 + λ27a_3= λ(a_0 + a_1 + 4a_2 + 27a_3)=0 quindi λp(t) $in$ U
"francy66":
Prendo p(t) = ($a_0,a_1,4a_2,27a_3$) e q(t) = ($b_0,b_1,b_2,b_3$) $in$ U...
Ma che stai a dì? Siano
$p(t)= a_1+b_1 t+c_1 t^2+d_1 t^3$ e $q(t)= a_2 +b_2 t +c_2 t^2 +d_2 t^3$ entrambi appartenenti a $U$
Dunque si ha $a_1+b_1+4c_1+27d_1=0$ e $a_2+b_2+4c_2+27d_2=0$ (queste sono le ipotesi che devi sfruttare)
Devi dimostrare che $p(t)+q(t) in U$ e che $AA lambda in RR$ si ha $lambda*p(t) in U$
verifico le due proprietà dei sottospazi per l'insieme U
Prendo p(t) = (a0,a1t,a2t2,a3t3) e q(t) = (b0,b1t,b2t2,b3t3) ∈ U
a_0+a_1+4a_2+27a_3=0 e b_0+b_1+4b_2+27b_3=0
ho che p(t)+q(t) = a0+b0,a1+b1,4a2+4b2,27a3+27b3 e
(a0+b0)+(a1+b1)+(4a2+4b2)+(27a3+27b3)=(a0+a1+4a2+27a3)+(b0+b1+4b2+27b3)=0
Quindi p(t)+q(t) ∈ U
qualsiasi sia p(t) = (a0,a1,4a2,27a3) e λ ∈ R ho che
λp(t)= (λa0,λa1,λ4a2,λ27a3)
e λa_0 + λa_1 + λ4a_2 + λ27a_3= λ(a_0 + a_1 + 4a_2 + 27a_3)=0 quindi λp(t) ∈ U
Prendo p(t) = (a0,a1t,a2t2,a3t3) e q(t) = (b0,b1t,b2t2,b3t3) ∈ U
a_0+a_1+4a_2+27a_3=0 e b_0+b_1+4b_2+27b_3=0
ho che p(t)+q(t) = a0+b0,a1+b1,4a2+4b2,27a3+27b3 e
(a0+b0)+(a1+b1)+(4a2+4b2)+(27a3+27b3)=(a0+a1+4a2+27a3)+(b0+b1+4b2+27b3)=0
Quindi p(t)+q(t) ∈ U
qualsiasi sia p(t) = (a0,a1,4a2,27a3) e λ ∈ R ho che
λp(t)= (λa0,λa1,λ4a2,λ27a3)
e λa_0 + λa_1 + λ4a_2 + λ27a_3= λ(a_0 + a_1 + 4a_2 + 27a_3)=0 quindi λp(t) ∈ U
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