Sottospazio vettoriale

[indovina]

Salve.
Sto studiando gli spazi vettoriali.
Ho questo problema.

Dimostra che a1+a2+.......+ar è un sottospazio vettoriale.

Io ho usato le regole del sottospazio e ho applicato la somme di due insiemi di sottospazi è ancora un sottospazio.

Se (a1+a2+......+ar)=0 significa che è un polinomio nullo.

Ora dato che

vettore u = a1+a2+......+ar appartiene all'insieme A

vettore v= (a')1+(a')2+........+(a')r appartiene all'insieme B

(dove A e B sono sottospazi vettoriali di E)

e ponendo anche K, H appartenti a R (sono delle costanti)

Dovrà essere: Ku+Hv appartenente A+B

K(a1+a2+......+ar)+H(a')1+(a')2+........+(a')r

Se K= 0 ------> H(a')1+(a')2+........+(a')r ed è un sottospazio
Se H=0 -------->K(a1+a2+......+ar) ed è anche questo un sottospazio

Quindi a1+a2+......+ar è esso stesso un sottospazio

Non so se va bene come dimostrazione.
Se non va bene, potete controllarla?
Grazie

[apatriarca]

Non mi sono per niente chiare le tue notazioni. Che cosa intendi ad esempio con a1 + a2 + ... + ar? Dovresti inoltre imparare a scrivere le formule usando il linguaggio messo a disposizione in questo forum.

[indovina]

$a_1 + a_2 + ... + a_r$

sono dei valori messi con a
fino $a_r$ valore finale

[apatriarca]

In particolare, se gli $a_i$ fossero vettori, come sembrerebbe dalla dimostrazione, allora la loro somma sarebbe un vettore e non un sottospazio vettoriale.

[indovina]

Si, sono insieme di vettori.
Io dovrei dimostrare che è un sottospazio vettoriale, applicandoci la somma .
Io ho seguito il procedimento come quello fatto in classe oggi per dimostrare che
A+B= (e di E : <>)

[apatriarca]

Quindi devi generalizzare la somma di due sottospazi vettoriali a quella finita? È sufficiente dimostrarlo per induzione. Il caso $r = 1$ è immediato e quello $r = 2$ l'avete dimostrato a lezione. Se si suppone quindi che il teorema sia stato dimostrato fino a $r = k$, allora $A_1 + A_2 + ... + A_{k+1} = (A_1 + A_2 + ... + A_k) + A_{k+1}$ e quindi, siccome $(A_1 + A_2 + ... + A_k)$ (per l'ipotesi induttiva) e $A_{k+1}$ sono spazi vettoriali, anche $A_1 + A_2 + ... + A_{k+1}$ lo è per il caso $r = 2$.