Sottospazio Vettoriale
Come si risolve questo esercizio: dire per quali valori del parametro $alpha$ l'insieme $U_alpha={(z,z+alpha,x+y) in RR^3}$ è un sottospazio vettoriale.
Risposte
"Tipper":
[quote="Dust"]Ho un altro problema. Se devo trovare la base dell'intersezione di 2 sottospazi ho capito come fare nel caso in cui ne abbia uno definito tramite un equazione
ad es $U={(x,y,z) in RR^3 | x+y+z=0}$ e l'altro no.
Ma se entrambi sono definiti semplicemente da i vettori che li generano, come si fa?
Ad esempio: come faccio a trovare una base del sottospazio intersezione di $UnnW$ dove
$U=<(5,1,3,5),(1,2,3,4)>$ e $W=<(1,2,1,2),(3,0,-1,0)>$
Grazie
Quando devo trovare l'intersezione di due, o più, sottospazi, per prima cosa scrivo l'equazione cartesiana di ogni sottospazio, poi le metto a sistema, facile no?
[/quote]Che nel mio esempio significa ${(5a+b=c+3d),(a+2b = 2c), (3a+3b=c-d),(5a+4b = 2c) :}$ ?
Dato che una base di $W$ è data dai vettori $((1),(2),(1),(2))$ e $((3),(0),(-1),(0))$, un generico vettore di $W$ si scriverà come combinazione lineare di questi vettori, ovvero come:
$\alpha ((1),(2),(1),(2)) + \beta ((3),(0),(-1),(0)) = ((\alpha + 3 \beta),(2 \alpha),(\alpha - \beta),(2 \alpha))$
Quindi risulta:
$\{(x=\alpha + 3 \beta),(y=2 \alpha),(z=\alpha - \beta),(t = 2 \alpha):}$
Dalla seconda si ricava $\alpha=\frac{y}{2}$, quindi si ottiene:
$\{(x=\frac{y}{2}+ 3 \beta),(z=\frac{y}{2} - \beta),(t=y):}$
Dalla seconda si ottiene $\beta=\frac{y}{2} - z$ quindi sostituendo:
$\{(x=\frac{y}{2} + 3(\frac{y}{2} - z)),(t=y):} = {(x=2y - z),(t=y):}$
Questa è l'equazione cartesiana di $W$, per quella di $U$ si procede analogamente; non ti fidare troppo dei conti, in questo sono un marrano, ma il procedimento è questo (almeno quello che uso io).
$\alpha ((1),(2),(1),(2)) + \beta ((3),(0),(-1),(0)) = ((\alpha + 3 \beta),(2 \alpha),(\alpha - \beta),(2 \alpha))$
Quindi risulta:
$\{(x=\alpha + 3 \beta),(y=2 \alpha),(z=\alpha - \beta),(t = 2 \alpha):}$
Dalla seconda si ricava $\alpha=\frac{y}{2}$, quindi si ottiene:
$\{(x=\frac{y}{2}+ 3 \beta),(z=\frac{y}{2} - \beta),(t=y):}$
Dalla seconda si ottiene $\beta=\frac{y}{2} - z$ quindi sostituendo:
$\{(x=\frac{y}{2} + 3(\frac{y}{2} - z)),(t=y):} = {(x=2y - z),(t=y):}$
Questa è l'equazione cartesiana di $W$, per quella di $U$ si procede analogamente; non ti fidare troppo dei conti, in questo sono un marrano, ma il procedimento è questo (almeno quello che uso io).
Ho fatto come mi hai detto tu con $U$ e mi viene
${(z=4/3y-2/3x),(t=66/9x-105/9y):}$
Ora, a prescindere dal fatto che i calcoli siano giusti o meno, devo metterle a sistema con quelle che hai trovato tu?
${(z=4/3y-2/3x),(t=66/9x-105/9y):}$
Ora, a prescindere dal fatto che i calcoli siano giusti o meno, devo metterle a sistema con quelle che hai trovato tu?
Sì, e semplifica, se possibile, il sistema che ottieni.
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