Sottospazio vettoriale.

[galles90]

Buonasera,

Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale e sia \(\displaystyle S \) un sottoinsieme di \(\displaystyle V \).
Mostrare che l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di \(\displaystyle S \) è un sottospazio di \(\displaystyle V \), ed è il più piccolo sottospazio di \(\displaystyle V \) che contenga \(\displaystyle S \).

La prima parte del testo la riesco a fare, invece sulla seconda sono un po' impacciato. La mia idea è quella di sfruttare che lo \(\displaystyle Span(S) \) sia un sottospazio, cioè i vettori dello \(\displaystyle Span(S) \) sono C.L. dei vettori di \(\displaystyle S \), "da qui in poi dico una cavolata" cioè tutti i vettori dello \(\displaystyle Span(S) \) sono vettori di \(\displaystyle S \). Quindi lo \(\displaystyle Span(S) \) è il più piccolo sottospazio di \(\displaystyle S \).


Cordiali saluti

[matteoorlandini]

1. Lo span, da definizione, è la combinazione lineare dei ${v_1,...,v_n}$, cioè $d_1v_1+...+d_nv_n$, quindi prendendo come coefficiente di $v_1$, $d_1=1$ e $d_2,...,d_n=0$ ottengo $v_1$, che appartiene allo Span. Ripeto lo stesso ragionamento fino a $v_n$ e quindi lo Span contiene tutti i vettori ${v_1,...,v_n}$.
2. Lo $Span (v_1,...,v_n)$ da definizione è la combinazione lineare dei vettori ${v_1,...,v_n}$. Prendo i vettori $v=a_1v_1+...+a_nv_n$ e $w=b_1v_1+...+b_nv_n$ appartenenti allo span. Allora lo $Span (v_1,...,v_n)$ è chiuso per la somma perchè $v+w=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n$ appartiente allo Span ed è chiuso per il prodotto per scalare perchè $cv=c(a_1v_1+...+a_nv_n)$ che appartiene ancora allo Span. Allora lo Span è un sottospazio vettoriale.
3. Prendo un sottospazio W che contiene ${v_1,...,v_n}$, da definizione di sottospazio questo è chiuso per la somma e per il prodotto per scalare. Cioè presi $w_1=e_1v_1+...+e_nv_n$ e $w_2=f_1v_1+...+f_nv_n$ allora $w_1+w_2=(e_1+f_1)v_1+...+(e_n+f_n)v_n$ appartiene a W, ma appartiene anche allo Span. A questo punto concludo che lo Span appartiene a W. Da quest'ultima affermazione posso dire dunque che lo Span è contenuto in W

[galles90]

Grazie