Sottospazio Vettoriale
Ciao a tutti, ho un problema con il seguente esercizio:
Si stabilisca se nello spazio vettoriale $ M_2(R) $ delle matrici 2x2 su R, il sottoinsieme
$ { A in M_2(R) : A A^t = ( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) )} U {( (0,0), (0,0))} $
è o meno un sottospazio.
Io ho verificato subito che contiene il vettore nullo, ma poi provando a fare il prodotto riga per colonna di A con la sua trasposta mi esce che il primo elemento è la somma di due quadrati, che non può mai essere negativa sul campo reale, quindi posso concludere che non è un sottospazio?
Si stabilisca se nello spazio vettoriale $ M_2(R) $ delle matrici 2x2 su R, il sottoinsieme
$ { A in M_2(R) : A A^t = ( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) )} U {( (0,0), (0,0))} $
è o meno un sottospazio.
Io ho verificato subito che contiene il vettore nullo, ma poi provando a fare il prodotto riga per colonna di A con la sua trasposta mi esce che il primo elemento è la somma di due quadrati, che non può mai essere negativa sul campo reale, quindi posso concludere che non è un sottospazio?
Risposte
Osserva che il sistema sulla sinistra è incompatibile. Infatti la condizione imposta è che:
\(\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\)
Che equivale a chiedere che
\(\left(\begin{array}{cc} a^2 + b^2 + 1 & ac + bd \\ ac+bd-1 & c^2+d^2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\)
In particolare nel sistema lineare associato, che non è omogeneo, compaiono tra le altre queste due condizioni:
\(\begin{cases} ac + bd = 0 \\ ac + bd - 1 = 0\end{cases} \)
Sostituendo la prima nella seconda si ottiene che $-1 = 0$ che non è mai verificata, per nessun valore dei parametri; questo spazio non è un sottospazio vettoriale (perché il vettore nullo non vi appartiene, e non è dunque soddisfatta una condizione necessaria) e inoltre è l'insieme vuoto. Allora l'unione con l'insieme costituito dalla sola matrice nulla di $M(2\times2, \mathbb{R})$ è un insieme che contiene solo quest'ultima: l'unico elemento che appartiene al dato insieme è dunque il solo elemento neutro della somma; lo spazio è un sottospazio vettoriale di dimensione 0!
\(\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\)
Che equivale a chiedere che
\(\left(\begin{array}{cc} a^2 + b^2 + 1 & ac + bd \\ ac+bd-1 & c^2+d^2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\)
In particolare nel sistema lineare associato, che non è omogeneo, compaiono tra le altre queste due condizioni:
\(\begin{cases} ac + bd = 0 \\ ac + bd - 1 = 0\end{cases} \)
Sostituendo la prima nella seconda si ottiene che $-1 = 0$ che non è mai verificata, per nessun valore dei parametri; questo spazio non è un sottospazio vettoriale (perché il vettore nullo non vi appartiene, e non è dunque soddisfatta una condizione necessaria) e inoltre è l'insieme vuoto. Allora l'unione con l'insieme costituito dalla sola matrice nulla di $M(2\times2, \mathbb{R})$ è un insieme che contiene solo quest'ultima: l'unico elemento che appartiene al dato insieme è dunque il solo elemento neutro della somma; lo spazio è un sottospazio vettoriale di dimensione 0!
Vediamo se ho capito, non esiste nessuna matrice che, moltiplicata per la sua trasposta dia la matrice
$ ( ( -1 , 0),( 1 , 0 ) ) $
E che quindi il sottospazio sarebbe dato dall’unione di un insieme vuoto e la matrice nulla, cioè il sottospazio formato dalla sola matrice nulla.
Ho sbagliato?
$ ( ( -1 , 0),( 1 , 0 ) ) $
E che quindi il sottospazio sarebbe dato dall’unione di un insieme vuoto e la matrice nulla, cioè il sottospazio formato dalla sola matrice nulla.
Ho sbagliato?
Proprio così: se unisci un insieme con uno vuoto, ottieni l'insieme dei due che non è vuoto; così accade anche in questo caso.
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