Sottospazio vettoriale
Scusate come faccio a capire quando un insieme di vettori e sottospazio di un altro insieme? So che devono valere le regole dell'applicazione lineare e che deve contenere il vettore nullo, però non sono sicuro su come applicare questi concetti. Per esempio, parlando in $R3$, la combinazione lineare di 2 vettori l.i. genera un sottospazio di $R3$ giusto? Ora, in un esercizio mi viene chiesto: "il piano di vettori $ (b1, b2, b3) $ tc $ b_3-b_2+3b_1 = 0 $ è un sottospazio di $R3$?" Secondo me sì, ma non saprei dimostrarlo rigorosamente, mi viene da dirlo ad intuito. Il testo era in inglese comunque. Grazie in anticipo!
Risposte
La tua intuizione è giusta, ma non l'hai motivata. Avrebbe avuto senso dire che definisce un sottospazio poiché è definito tramite un'equazione omogenea di primo grado: in questo modo sicuramente si trova un sottospazio. Per le prime volte però è sicuramente meglio procedere per verifica diretta.
Prova gli assiomi, che scrivo a parole:
(i) Prendi due vettori e verifica che la loro somma appartiene ancora al sottospazio?
(ii) Moltiplica un vettore per uno scalare non nullo: appartiene ancora al sottospazio?
(iii) il vettore nullo appartiene al sottospazio?
La risposta è sì per ogni domanda, quindi è un sottospazio di $RR^3$
Prova gli assiomi, che scrivo a parole:
(i) Prendi due vettori e verifica che la loro somma appartiene ancora al sottospazio?
(ii) Moltiplica un vettore per uno scalare non nullo: appartiene ancora al sottospazio?
(iii) il vettore nullo appartiene al sottospazio?
La risposta è sì per ogni domanda, quindi è un sottospazio di $RR^3$
Eh, ma come ho scritto nella domanda, questo già lo sapevo. Ho però un po' di problemi a metterlo in pratica. Il terzo punto è facile, ma per i primi 2 non so come fare. A me risulta intuitivo che sia un sottospazio di R3 perché, se non dico cavolate, quello è un piano passante per l'origine. La mia cricca è che non mi riesce dimostrare praticamente che, dati 2 vettori, se li sommi ottengo un vettore appartenente a tale spazio... mi potresti dare un suggerimento su come far "partire" la verifica?
Mi è venuta un idea. Forse non è che devo prendere due terne di valori $(b_1, b_2, b_3)$ che soddisfino tale relazione e poi "banalmente" dimostrare che anche la loro somma soddisfa tale relazione?
Ti sei risposto da solo 
Scusa se approfitto, ma sto cercando di approfondire le mie conoscenze di una materia che purtroppo ho sempre snobbato. Come posso applicare tale concetti per verificare se una generica sequenza $(x_1, x_2, x_3, ...)$ con i vincoli del caso sia un sottospazio di $R^(infty)$?
$R^{\infty}$ mi sembra strano che ti venfa dato... visto che in algebra lineare si studiano solo spazi vettorialedi dimensione finita.
Ad ogni modo, il procedimento è sempre lo stesso. Si considerano due vettori soddisfacenti le condizioni del sottospazio, come nel tuo caso possono essere $(w_1,w_2,w_3)$ , $(v_1,v_2,v_3)$ e si vede che $v+w $ soddisfano l'equazione del sottospazio. Analogamente con la moltiplicazione per uno scalare, mentre la verifica dello zero è immediata.
Ad ogni modo ce ne sono moltissimi di esercizi su questo argomento nel forum, ti invito a cercare in questa sezione e se hai altri dubbi...sono qui !
Ad ogni modo, il procedimento è sempre lo stesso. Si considerano due vettori soddisfacenti le condizioni del sottospazio, come nel tuo caso possono essere $(w_1,w_2,w_3)$ , $(v_1,v_2,v_3)$ e si vede che $v+w $ soddisfano l'equazione del sottospazio. Analogamente con la moltiplicazione per uno scalare, mentre la verifica dello zero è immediata.
Ad ogni modo ce ne sono moltissimi di esercizi su questo argomento nel forum, ti invito a cercare in questa sezione e se hai altri dubbi...sono qui !
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