Sottospazio vettoriale
Ragazzi, non ho affatto capito il ragionamento logico dietro il calcolo del sottospazio vettoriale.
Allora, devo studiare se $V_1$ è un sottospazio di $V := (RR)^4$.
So che per essere un sottospazio, devono confermarsi tre casi:
$vec v * 0 in V_1$
$alpha * vec c in V_1$
$vec v + vec w in V_1$
Il sottoinsieme da studiare è: $V_1 = { (a, b, c, d) in V | a + b + c + d = 0 }$.
Le prime due casistiche si confermano facilmente, ma la terza? Come posso confermarla?
Allora, devo studiare se $V_1$ è un sottospazio di $V := (RR)^4$.
So che per essere un sottospazio, devono confermarsi tre casi:
$vec v * 0 in V_1$
$alpha * vec c in V_1$
$vec v + vec w in V_1$
Il sottoinsieme da studiare è: $V_1 = { (a, b, c, d) in V | a + b + c + d = 0 }$.
Le prime due casistiche si confermano facilmente, ma la terza? Come posso confermarla?
Risposte
Usa la proprietà commutativa della somma.
Sì ma affinchè quello sia un sottospazio, $(a + a', b + b', c + c', d + d') in V_1$. Giusto?
La proprietà commutativa che la applico a fare alle singole somme?
La proprietà commutativa che la applico a fare alle singole somme?
"Mr.Mazzarr":
Sì ma affinchè quello sia un sottospazio, $(a + a', b + b', c + c', d + d') in V_1$. Giusto?
La proprietà commutativa che la applico a fare alle singole somme?
La applichi alla condizione di appartenenza a \(\displaystyle V_1 \)
\(\displaystyle (a + a') + (b + b') + (c + c') + (d + d') = (a + b + c + d) + (a' + b' + c' + d') = 0 + 0 = 0 \)
Devo controllare se $W$ è un sottospazio vettoriale di $R$.
$W = {(a, b, c) : a*b = 0}$
Il vettore nullo appartiene a $W$ con $a=b=c=0$. Ma la seconda condizione non dovrebbe essere rispettata:
$vec a = (1, 0, 2) , vec b = (0, 1, 2) -> (vec a + vec b) = (1, 1, 4)$
La somma di due vettori che appartengono all'insieme $W$ non rispetta la condizione necessaria, ossia che $a*b=0$.
Ergo $W$ non è un sottospazio, giusto?
$W = {(a, b, c) : a*b = 0}$
Il vettore nullo appartiene a $W$ con $a=b=c=0$. Ma la seconda condizione non dovrebbe essere rispettata:
$vec a = (1, 0, 2) , vec b = (0, 1, 2) -> (vec a + vec b) = (1, 1, 4)$
La somma di due vettori che appartengono all'insieme $W$ non rispetta la condizione necessaria, ossia che $a*b=0$.
Ergo $W$ non è un sottospazio, giusto?
Si, esatto.
Perfetto, grazie vict.
Dubbio: devo controllare se $U = {(h, h^2): h in RR}$ è un sottospazio di $RR^3$.
Anche se riuscissi a confermare che $U$ è chiuso, come fa ad essere un sottospazio di $RR^3$ se ho solo $h$ e $h^2$?
Oppure non c'entra nulla?
Anche se riuscissi a confermare che $U$ è chiuso, come fa ad essere un sottospazio di $RR^3$ se ho solo $h$ e $h^2$?
Oppure non c'entra nulla?
"Mr.Mazzarr":
come fa ad essere un sottospazio di $RR^3$ se ho solo $h$ e $h^2$?
Prova a pensare allo spazio tridimensionale. Se prendi un piano e prendi tutti i vettori della fauna di questo piano, e' chiaro che ne' sommarli (vd. regola del parallelogramma, se vuoi) ne' tanto meno allungarli o accorciarli ti fa andare fuori (sopra o sotto) dal piano che ti sei scelto.
Ecco quindi che hai una famiglia di vettori di \( \mathbb{R}^3 \) che non sgarra ne' con la somma ne' con il prodotto per scalare.
Una banda di vettori di \( V \) fedele a se' stessa rispetto a \( (+, \, \cdot) \) e' detta (sotto)spazio vettoriale (di \( V \))
Ti faccio notare tra l'altro che questo scarto dimensionale e' necessario, altrimenti staresti parlando sempre dello stesso spazio (bella fregatura ...). Puoi infatti dimostrare che
Sia \( V \) un \( \mathbb{K} \) spazio vettoriale, sia \(W < V\). Se \(\operatorname{dim}(W) = \operatorname{dim}(V)\), allora \(W \equiv V\).
Come faccio a dimostrare che la somma tra vettori e il prodotto di un vettore e uno scalare esiste in quell'insieme $U$?
"Mr.Mazzarr":
Come faccio a dimostrare che la somma tra vettori e il prodotto di un vettore e uno scalare esiste in quell'insieme $U$?
Ma infatti probabilmente non lo è. Con quel quadrato di mezzo ...fa casino sia con la somma che con la moltplicazione per scalari negativi.
Perchè vuol dire che ogni vettore è composto da due numeri, di cui uno è il quadrato dell'altro.
Giusto?
Giusto?
E questa dovrebbe essere la caratterizzazione di \( U \); ok. Pero' dicevo: probabilmente \( U \) non e' uno spazio vettoriale. Per verificarlo, vai di definizione: controlla se
\[ \begin{bmatrix} a \\ a^2 \end{bmatrix} := \tilde{\mathbf{u}} + \tilde{\tilde{\mathbf{u}}} := \begin{bmatrix} b \\ b^2 \end{bmatrix} \]
sia ancora in \( U \) ([url=http://en.wikipedia.org/wiki/Freshman's_dream]no[/url]).
Nel caso pero' mi sbagliassi, e' chiaro che dovresti controllare anche la chiusura rispetto al prodotto scalare --e li' da \( U \) puoi uscire prendendo un vettore \( \mathbf{u} \) e moltiplicandolo per \( -1 \) --o un qualsiasi altro scalare negativo.
\[ \begin{bmatrix} a \\ a^2 \end{bmatrix} := \tilde{\mathbf{u}} + \tilde{\tilde{\mathbf{u}}} := \begin{bmatrix} b \\ b^2 \end{bmatrix} \]
sia ancora in \( U \) ([url=http://en.wikipedia.org/wiki/Freshman's_dream]no[/url]).
Nel caso pero' mi sbagliassi, e' chiaro che dovresti controllare anche la chiusura rispetto al prodotto scalare --e li' da \( U \) puoi uscire prendendo un vettore \( \mathbf{u} \) e moltiplicandolo per \( -1 \) --o un qualsiasi altro scalare negativo.
Se moltiplico per uno scalare del tipo $-1$, comunque il suo quadrato sarà positivo. No?
Perchè non potrebbe appartenere ad $U$?
Perchè non potrebbe appartenere ad $U$?
Nota: in realta' mi sbagliavo; non serve scegliere uno scalare negativo --ogni scalare ti fa uscire da \( U \).
Se prendi un vettore \( \mathbf{u} \in U \) allora deve esistere un qualche numeretto reale --per esempio \( a \)-- tale che
\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} a \\ a^2 \end{bmatrix} \]
Vuoi verificare che comunque scegli uno scalare \( k \in \mathbb{R} \) il vettore \( k \mathbf{u} \) e' ancora un vettore di \( U \). Ma questo non accade, infatti
\[ k \mathbf{u} = \begin{bmatrix} k a \\ k a^2 \end{bmatrix} \]
ma \( k a^2 \) (almeno in generale) non e' il quadrato della prima componente di \( \mathbf{u} \). Quindi, esci da \( U \).
Se prendi un vettore \( \mathbf{u} \in U \) allora deve esistere un qualche numeretto reale --per esempio \( a \)-- tale che
\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} a \\ a^2 \end{bmatrix} \]
Vuoi verificare che comunque scegli uno scalare \( k \in \mathbb{R} \) il vettore \( k \mathbf{u} \) e' ancora un vettore di \( U \). Ma questo non accade, infatti
\[ k \mathbf{u} = \begin{bmatrix} k a \\ k a^2 \end{bmatrix} \]
ma \( k a^2 \) (almeno in generale) non e' il quadrato della prima componente di \( \mathbf{u} \). Quindi, esci da \( U \).
"Mr.Mazzarr":
Come faccio a dimostrare che la somma tra vettori e il prodotto di un vettore e uno scalare esiste in quell'insieme $U$?
Che le operazioni sono definite deriva dal fatto che è un sottoinsieme di un insieme su cui quelle operazioni sono definite. Dopo di che quelle operazioni non sono chiuse. Ti può interessare sapere che lo spazio \(U\) è una varietà algebrica affine.
Ecco, ora ho capito il discorso sullo scalare.
Perchè il quadrato '' riguarda '' solo $a^2$ e non $(ka)^2$. Quindi non ci troviamo, perchè ovviamente non avremo il quadrato di $ka$ che è il primo termine.
Sì vict, ovviamente io devo confermare che sia chiuso per sapere che è un sottospazio.
Perchè il quadrato '' riguarda '' solo $a^2$ e non $(ka)^2$. Quindi non ci troviamo, perchè ovviamente non avremo il quadrato di $ka$ che è il primo termine.
Sì vict, ovviamente io devo confermare che sia chiuso per sapere che è un sottospazio.
"Mr.Mazzarr":
Dubbio: devo controllare se $U = {(h, h^2): h in RR}$ è un sottospazio di $RR^3$.
Anche se riuscissi a confermare che $U$ è chiuso, come fa ad essere un sottospazio di $RR^3$ se ho solo $h$ e $h^2$?
Oppure non c'entra nulla?
C'entra, c'entra... I vettori con due componenti non stanno in \(\mathbb{R}^3\), quindi non ha proprio senso chiedersi se \(U\) è un sottospazio di \(\mathbb{R}^3\).
Ma probabilmente c'è un errore di stampa e l'autore voleva scrivere \(\mathbb{R}^2\).
In tal caso, nota che, posto \(\mathbf{u}=(h,h^2)\), si ha \(\mathbf{u}\in U\):
\[
2\mathbf{u} = 2(h,h^2)=(2h,2h^2)
\]
e l'ultimo vettore non si può scrivere nella forma \((k,k^2)\) (perché dovrebbe essere contemporaneamente \(k=2h\) e \(k^2=2h^2\), il che è impossibile!), dunque \(2\mathbf{u}\notin U\); perciò \(U\) non va nemmeno lontanamente vicino ad essere un sottospazio di \(\mathbb{R}^2\).
Esercizi della D'Aniello?
Non sono poi tanto difficili, ma nei fascicoli si incappa in svariati errori di battitura.
"gugo82":
C'entra, c'entra... I vettori con due componenti non stanno in \(\mathbb{R}^3\), quindi non ha proprio senso chiedersi se \(U\) è un sottospazio di \(\mathbb{R}^3\).
Ups! Disasterpiece, scusate!
"gugo82":
C'entra, c'entra... I vettori con due componenti non stanno in \(\mathbb{R}^3\), quindi non ha proprio senso chiedersi se \(U\) è un sottospazio di \(\mathbb{R}^3\).
Ma probabilmente c'è un errore di stampa e l'autore voleva scrivere \(\mathbb{R}^2\).
In tal caso, nota che, posto \(\mathbf{u}=(h,h^2)\), si ha \(\mathbf{u}\in U\):
\[
2\mathbf{u} = 2(h,h^2)=(2h,2h^2)
\]
e l'ultimo vettore non si può scrivere nella forma \((k,k^2)\) (perché dovrebbe essere contemporaneamente \(k=2h\) e \(k^2=2h^2\), il che è impossibile!), dunque \(2\mathbf{u}\notin U\); perciò \(U\) non va nemmeno lontanamente vicino ad essere un sottospazio di \(\mathbb{R}^2\).
Ecco, era quello che intendevo dire! Quindi una volta tanto non ho detto una stupidaggine
"gugo82":
Esercizi della D'Aniello?
Non sono poi tanto difficili, ma nei fascicoli si incappa in svariati errori di battitura.
Esatto! Penso che comunque le mie stampe siano '' sbagliate '', perchè alcuni problemi risultano privi di qualche dato!
Era anche la tua professoressa?
Ci ho provato, e mi trovo:
- $vec 0 in U$ con $h=0$
- $vec u = (a, a^2) in U$ $vec v = (k, k^2) in U$
$vec u + vec v = (a + k, a^2 + k^2)$
La somma tra questi vettori non può appartenere ad U in quanto il vettore somma risultante $vec w = vec u + vec w = (a + k, a^2 + k^2)$ non rispetta la condizione fondamentale secondo cui il secondo componente deve essere il quadrato del primo componente, per ogni $a, k in RR$. Ergo non è un sottospazio.
- $vec 0 in U$ con $h=0$
- $vec u = (a, a^2) in U$ $vec v = (k, k^2) in U$
$vec u + vec v = (a + k, a^2 + k^2)$
La somma tra questi vettori non può appartenere ad U in quanto il vettore somma risultante $vec w = vec u + vec w = (a + k, a^2 + k^2)$ non rispetta la condizione fondamentale secondo cui il secondo componente deve essere il quadrato del primo componente, per ogni $a, k in RR$. Ergo non è un sottospazio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo