Sottospazio supplementare di un sottospazio di $RR_2[t]$
Salve a tutti; avrei delle difficoltà con il seguente esercizio: nello spazio vettoriale $RR_2[t]$ dei polinomi a coefficienti reali, in una variabile $t$, di grado non superiore a 2, consideriamo il sottospazio F generato dal polinomio $f(t)=2+t$.
Trovare un sottospazio $G$ supplementare di $F$, cioé tale che sia $RR_2[t]=F\text(somma-diretta)G$.
Sinceramente non saprei proprio come cominciare. Io partirei prendendo come polinomio di grado minore o uguale a 2: $at^2+bt+c$ con $a,b,c$$in$$RR$. Per cui potrei chiedermi: per quali valori dei tre parametri i due sottospazio hanno come intersezione il solo vettore nullo?
Questa è giusto una supposizione che però non riesco a tradurre con i numeri.
Grazie a tutti.
Trovare un sottospazio $G$ supplementare di $F$, cioé tale che sia $RR_2[t]=F\text(somma-diretta)G$.
Sinceramente non saprei proprio come cominciare. Io partirei prendendo come polinomio di grado minore o uguale a 2: $at^2+bt+c$ con $a,b,c$$in$$RR$. Per cui potrei chiedermi: per quali valori dei tre parametri i due sottospazio hanno come intersezione il solo vettore nullo?
Questa è giusto una supposizione che però non riesco a tradurre con i numeri.
Grazie a tutti.
Risposte
Prova a fissare una base di \(\mathbb{R}_2[t]\) così da rendere questo spazio isomorfo a \(\mathbb{R}^3\) (che magari ci è più familiare...)
Potrei considerare come base $f_1(t)=t^2+1$, $f_2(t)=t+1$ ed infine $f_3(t)=t^2+2t$. Sono certamente linearmenti indipendenti.
Ora che ho una base?
Ora che ho una base?
Potrei considerae come base f1(t)=t2+1, f2(t)=t+1 ed infine f3(t)=t2+2t.
È un po' perversa questa base. Perché non \((1,t,t^2)\)? In questo modo ogni polinomio è identificato con il vettore delle sue componenti. Ad esempio il polinomio \(f(t) = 2+t\) diventa \((2,1,0)\).
Adesso basta determinare un sottospazio di \(\mathbb{R}^3\) supplementare a \((2,1,0)\) (ad esempio il piano ortogonale) e vedere cosa rappresenta nello spazio dei polinomi...
Credo di aver risolto: sfruttando la base introdotta posso introdurre un altro sottospazio K che è generato dai polinomi $f_2(t)=t^2+1,f_3(t)=t^2+2t$. Dato che tale sottospazio ha dimensione 2 e dato che sono linearmente indipendenti allora, potrebbe essere che insieme al sottospazio F formino $RR_2[t]$ che ha dimensione 3. Per la legge di Grassman ho la certezza che il secondo sottospazio deve avere dimensione 2. Verifico che sono effettivamente linearmente indipendenti: $ct^2+t(a+b+2c)+2a+b=0$. Mettendo a sistema $c=0,a+b+2c=0,2a+b=0$; ottengo come una soluzione una terna nulla. Dunque i 3 polinomi sono linearmente indipendenti e, dunque formano una base di $RR_2[t]$. Difatti i due sottospazi hanno rispettivamente dimensione 1 e 2. Va bene così? Per risolvere questo genere di esercizi dovrei sempre trovare una base?
Se si come faccio a ricavarmela?
La Base Canonica dei polinomi di grado minore o uguali a 2 quale sarebbe?
Grazie dell'aiuto.
Se si come faccio a ricavarmela?
La Base Canonica dei polinomi di grado minore o uguali a 2 quale sarebbe?
Grazie dell'aiuto.
Non ho capito molto bene perché ciascun polinomio è identificato dalle componenti. Cioé 2 identifica il termine noto del polinomio 1 il coefficiente della variabile di primo grado e 0 il coefficiente della variabile di secondo grado. Non capisco perché si possa fare, certo come via è molto sbrigativa. Una volta che mi riporto a $RR^3$ è tutto più facile 
.
.
Il mio suggerimento parte dall'osservazione seguente: se \(f\, \colon V \to W\) è un isomorfismo tra spazi vettoriali e \(H\), \(K\) sono sottospazi di \(V\) in somma diretta, allora \(f(H)\) e \(f(K)\) sono sottospazi in somma diretta in \(W\) (cioè gli isomorfismi conservano la somma diretta).
In \(\mathbb{R}^n\) c'è un modo "rapido" per trovare il supplementare di un sottospazio: utilizzare il prodotto scalare. Quello che voglio dire è: se \(S \subset \mathbb{R}^n\) è un sottospazio, allora \(S\) è in somma diretta con il sottospazio ortogonale \(S^{\perp}\).
Considera l'isomorfismo \(f\,\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}_2[t]\) definito da \(f(a,b,c) = a+bt+ct^2\). Per trovare il supplementare del (sottospazio generato dal) vettore \(u = (2,1,0)\) in \(\mathbb{R}^3\) basta trovare due vettori indipendenti \(v\) e \(w\) entrambi ortogonali a \(u\). Facilmente possiamo scegliere \(v = (1,-2,0)\) e \(w = (0,0,1)\).
A questo punto, per l'osservazione iniziale, il sottospazio generato da \(f(u) = 2+t\) è in somma diretta col sottospazio generato da \(f(v) = 1 - 2t\) e da \(f(w) = t^2\).
In \(\mathbb{R}^n\) c'è un modo "rapido" per trovare il supplementare di un sottospazio: utilizzare il prodotto scalare. Quello che voglio dire è: se \(S \subset \mathbb{R}^n\) è un sottospazio, allora \(S\) è in somma diretta con il sottospazio ortogonale \(S^{\perp}\).
Considera l'isomorfismo \(f\,\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}_2[t]\) definito da \(f(a,b,c) = a+bt+ct^2\). Per trovare il supplementare del (sottospazio generato dal) vettore \(u = (2,1,0)\) in \(\mathbb{R}^3\) basta trovare due vettori indipendenti \(v\) e \(w\) entrambi ortogonali a \(u\). Facilmente possiamo scegliere \(v = (1,-2,0)\) e \(w = (0,0,1)\).
A questo punto, per l'osservazione iniziale, il sottospazio generato da \(f(u) = 2+t\) è in somma diretta col sottospazio generato da \(f(v) = 1 - 2t\) e da \(f(w) = t^2\).
Ma se io per esempio avessi 3 polinomi di primo grado linearmente indipendenti; questi potrebbero essere base di tutti i polinomi di grado minore o uguale a 2?
No, come fai a ottenere \(t^2\)?
Per cui la soluzione che ho proposto prima io non è completamente corretta, giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo