Sottospazio supplementare..

[Musicam]

Salve, come si fa a determinare un sottospazio supplemetare, e vedere se un vettore appartiene al un sottospazio vettoriale?

[achille_lauro1]

Se due sottospazi, V1 e V2, di uno spazio vettoriale V sono supplementari,
si scrive V=V1 \(\displaystyle \oplus \) V2
e si dice V 'spezzarsi nella somma diretta di V1 e V2'.

Come determinare...
occorre considerare una base S dello spazio vettoriale complessivo V e
una base S1 del dato sottospazio V1 costituita da elementi di S.
Se si completa S1 a S, gli elementi aggiunti costituiscono una base S2 di uno spazio vettoriale supplementare a S1.

Supplementare di uno spazio vettoriale V è (0);
supplementare di (0) in V è V.

Supplementare di un sottospazio distinto da V e (0) non è univocamente individuato, ad esempio:

consideriamo il consueto insieme dei punti dello spazio della geometria euclidea \(\displaystyle \Omega \)
con struttura di R-spazio vettoriale indotta da quella dello spazio vettoriale dei vettori applicati in un punto O;
ogni retta passante per O è un sottospazio;
similmente, ogni piano passante per O.
E ogni retta r ed ogni piano p (non includente r) passanti per O sono reciprocamente sottospazi supplementari,
siccome sono con intersezione lo spazio vettoriale nullo
e somma delle dimensioni (dim r + dim p = 3) pari a quella dello spazio vettoriale considerato.

Un vettore appartiene ad uno spazio vettoriale se è esprimibile come combinazione lineare degli elementi di un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti di un sistema di generatori di V,
ovvero base dello spazio vettoriale.