Sottospazio ortogonale
Qualcuno sa spiegarmi perchè, se ho un sistema di generatori di un sottospazio, mettendolo in forma matriciale (vettore per riga) l'insieme degli spazi riga linearmente indipendenti costituiscono una rappresentazione cartesiana del sottospazio ortogonale a quello dato, e se, invece, ho le equazioni cartesiane del sottospazio, la matrice dei coefficienti della rappresentazione cartesiana del sottospazio (o almeno le sue righe indipendenti) mi costituiscono una base dello spazio ortogonale ? In altre parole qual'è il legame tra un sottospazio e il suo ortogonale ?
Risposte
Concettualmente è facile. Io però preferirei trasmetterti, oltre all'idea, il vero motivo per cui tutto funziona, ossia la motivazione formale, il che potrebbe rendere la prima lettura di quanto segue un po' ostica. A me aveva fatto bene spaccarmi la testa per convincermi della correttezza e della semplicità di quanto segue, quindi ritengo che possa far bene anche ad altri.
Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita. Il motivo di fondo di quello che chiedi è che c'è un accoppiamento di dualità non degenere tra [tex]V[/tex] e se stesso, dato dal prodotto scalare euclideo. Questo accoppiamento induce un monomorfismo nel duale: [tex]V \to V^*[/tex]. Siccome siamo in dimensione finita, questo monomorfismo è un isomorfismo. Dato un sottoinsieme di [tex]S \subset \mathbb V[/tex], possiamo definire il suo annullatore come [tex]S^\circ := \{\xi \in V^* \mid \xi(\mathbf v) = 0 \: \forall \mathbf \in S\}[/tex]. Si può dimostrare, ed è facile, che [tex]S^\circ[/tex] è un sottospazio vettoriale di [tex]V^*[/tex].
Sfruttando l'isomorfismo canonico [tex]V \cong (V^*)^*[/tex] possiamo definire tranquillamente l'annullatore di un sottoinsieme di [tex]T \subset V^*[/tex] come [tex]T^\circ := \{\mathbf v \in V \mid \langle \mathbf v | \xi \rangle = \xi(\mathbf v) = 0 \: \forall \xi \in T \} \subset V[/tex].
Ora, ti lascio qualche esercizio da fare al riguardo:
1) mostra che se [tex]S \subset V[/tex] allora [tex]S \subset (S^\circ)^\circ[/tex] e che [tex](S^\circ)^\circ[/tex] è il più piccolo sottospazio vettoriale di [tex]V[/tex] contenente [tex]S[/tex];
2) mostra che se [tex]T \subset V^*[/tex] allora [tex]T \subset (T^\circ)^\circ[/tex] e che [tex](T^\circ)^\circ[/tex] è il più piccolo sottospazio vettoriale di [tex]V^*[/tex] contenente [tex]T[/tex];
3) più in generale, mostra che [tex]S_1 \subset S_2 \subset V[/tex] implica [tex]S_2^\circ \subset S_1^\circ[/tex] e che [tex]T_1 \subset T_2 \subset V^*[/tex] implica [tex]T_2^\circ \subset T_1^\circ[/tex]. Questo ci sta dicendo che le due nozioni di annullatore introdotte definiscono una connessione di Galois sul reticolo dei sottospazi vettoriali di [tex]V[/tex].
Adesso, sfruttando l'isomorfismo (dato dall'accoppiamento di dualità "prodotto scalare") [tex]V \cong V^*[/tex] puoi identificare l'annullatore di un sottospazio [tex]W[/tex] di [tex]V[/tex] con un sottospazio di [tex]V[/tex]. Precisamente, [tex]W^\circ := \{\mathbf v \in V \mid \mathbf v \cdot \mathbf w = 0 \: \forall \mathbf w \in W\}[/tex]. Questa, però è precisamente la definizione di complemento ortogonale! Proviamo a calcolare una base per [tex]W^\circ[/tex]. Fissa una base [tex](\mathbf w_1,\ldots, \mathbf w_m)[/tex] per [tex]W[/tex]. Allora tutto quello che dobbiamo fare è risolvere il sistema [tex]\mathbf w_i \cdot \mathbf x = 0[/tex]. In particolare, questo sistema è una rappresentazione cartesiana per il complemento ortogonale. Risolvendolo, otteniamo una base di [tex]W^\bot = W^\circ[/tex], diciamo [tex]\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_{n-m}[/tex] dove [tex]n = \text{dim}(V)[/tex]. Ma adesso [tex]W = (W^\circ)^\circ[/tex], sicché per trovare una rappresentazione cartesiana di [tex]W[/tex] basta scrivere il sistema [tex]\mathbf v_i \cdot \mathbf x = 0[/tex]!
Proseguo con l'analisi teorica, perché è assai interessante (e perché purtroppo di solito non viene spiegata in università). Ggli elementi di [tex]V^*[/tex] sono dei funzionali lineari. E' facile dimostrare (= dimostra per esercizio!) che due funzionali lineari, [tex]\xi, \eta[/tex] sono linearmente dipendenti se e solo se [tex]\ker \xi = \ker \eta[/tex], ragion per cui possiamo rappresentare [tex]\mathbb P( V^*)[/tex] all'interno di [tex]\mathbb P(V)[/tex]: alla classe di equivalenza [tex][\xi][/tex] corrisponderà l'immagine dell'iperpiano [tex]\ker \xi[/tex] in [tex]\mathbb P(V)[/tex]. Questo dà ragione della nota dualità proiettiva.
Ora, alla fine, descrivo l'idea intuitiva. In [tex]\mathbb R^n[/tex] il complemento ortogonale di un vettore [tex]\mathbf v[/tex] è precisamente l'iperpiano "ortogonale" al vettore stesso, ossia l'insieme dei vettori ortogonali a [tex]\mathbf v[/tex]. Questo luogo geometrico è definito da un'equazione lineare, precisamente l'equazione del prodotto scalare solito [tex]\mathbf v \cdot \mathbf x = 0[/tex]. Questa è l'equazione di un iperpiano, dell'iperpiano ortogonale a [tex]\mathbf v[/tex]. Tenendo quest'esempio in mente, non è difficile capire come calcolare il complemento ortogonale di un sottospazio qualsiasi. Pertanto possiamo applicare questo procedimento all'iperpiano [tex]\mathbf v \cdot \mathbf x = 0[/tex]; quello che otterremo è il complemento ortogonale dell'iperpiano in questione, che sappiamo già essere [tex]\mathbf v[/tex]; pertanto otteniamo le equazioni cartesiane di [tex]\langle \mathbf v \rangle[/tex].
Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita. Il motivo di fondo di quello che chiedi è che c'è un accoppiamento di dualità non degenere tra [tex]V[/tex] e se stesso, dato dal prodotto scalare euclideo. Questo accoppiamento induce un monomorfismo nel duale: [tex]V \to V^*[/tex]. Siccome siamo in dimensione finita, questo monomorfismo è un isomorfismo. Dato un sottoinsieme di [tex]S \subset \mathbb V[/tex], possiamo definire il suo annullatore come [tex]S^\circ := \{\xi \in V^* \mid \xi(\mathbf v) = 0 \: \forall \mathbf \in S\}[/tex]. Si può dimostrare, ed è facile, che [tex]S^\circ[/tex] è un sottospazio vettoriale di [tex]V^*[/tex].
Sfruttando l'isomorfismo canonico [tex]V \cong (V^*)^*[/tex] possiamo definire tranquillamente l'annullatore di un sottoinsieme di [tex]T \subset V^*[/tex] come [tex]T^\circ := \{\mathbf v \in V \mid \langle \mathbf v | \xi \rangle = \xi(\mathbf v) = 0 \: \forall \xi \in T \} \subset V[/tex].
Ora, ti lascio qualche esercizio da fare al riguardo:
1) mostra che se [tex]S \subset V[/tex] allora [tex]S \subset (S^\circ)^\circ[/tex] e che [tex](S^\circ)^\circ[/tex] è il più piccolo sottospazio vettoriale di [tex]V[/tex] contenente [tex]S[/tex];
2) mostra che se [tex]T \subset V^*[/tex] allora [tex]T \subset (T^\circ)^\circ[/tex] e che [tex](T^\circ)^\circ[/tex] è il più piccolo sottospazio vettoriale di [tex]V^*[/tex] contenente [tex]T[/tex];
3) più in generale, mostra che [tex]S_1 \subset S_2 \subset V[/tex] implica [tex]S_2^\circ \subset S_1^\circ[/tex] e che [tex]T_1 \subset T_2 \subset V^*[/tex] implica [tex]T_2^\circ \subset T_1^\circ[/tex]. Questo ci sta dicendo che le due nozioni di annullatore introdotte definiscono una connessione di Galois sul reticolo dei sottospazi vettoriali di [tex]V[/tex].
Adesso, sfruttando l'isomorfismo (dato dall'accoppiamento di dualità "prodotto scalare") [tex]V \cong V^*[/tex] puoi identificare l'annullatore di un sottospazio [tex]W[/tex] di [tex]V[/tex] con un sottospazio di [tex]V[/tex]. Precisamente, [tex]W^\circ := \{\mathbf v \in V \mid \mathbf v \cdot \mathbf w = 0 \: \forall \mathbf w \in W\}[/tex]. Questa, però è precisamente la definizione di complemento ortogonale! Proviamo a calcolare una base per [tex]W^\circ[/tex]. Fissa una base [tex](\mathbf w_1,\ldots, \mathbf w_m)[/tex] per [tex]W[/tex]. Allora tutto quello che dobbiamo fare è risolvere il sistema [tex]\mathbf w_i \cdot \mathbf x = 0[/tex]. In particolare, questo sistema è una rappresentazione cartesiana per il complemento ortogonale. Risolvendolo, otteniamo una base di [tex]W^\bot = W^\circ[/tex], diciamo [tex]\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_{n-m}[/tex] dove [tex]n = \text{dim}(V)[/tex]. Ma adesso [tex]W = (W^\circ)^\circ[/tex], sicché per trovare una rappresentazione cartesiana di [tex]W[/tex] basta scrivere il sistema [tex]\mathbf v_i \cdot \mathbf x = 0[/tex]!
Proseguo con l'analisi teorica, perché è assai interessante (e perché purtroppo di solito non viene spiegata in università). Ggli elementi di [tex]V^*[/tex] sono dei funzionali lineari. E' facile dimostrare (= dimostra per esercizio!) che due funzionali lineari, [tex]\xi, \eta[/tex] sono linearmente dipendenti se e solo se [tex]\ker \xi = \ker \eta[/tex], ragion per cui possiamo rappresentare [tex]\mathbb P( V^*)[/tex] all'interno di [tex]\mathbb P(V)[/tex]: alla classe di equivalenza [tex][\xi][/tex] corrisponderà l'immagine dell'iperpiano [tex]\ker \xi[/tex] in [tex]\mathbb P(V)[/tex]. Questo dà ragione della nota dualità proiettiva.
Ora, alla fine, descrivo l'idea intuitiva. In [tex]\mathbb R^n[/tex] il complemento ortogonale di un vettore [tex]\mathbf v[/tex] è precisamente l'iperpiano "ortogonale" al vettore stesso, ossia l'insieme dei vettori ortogonali a [tex]\mathbf v[/tex]. Questo luogo geometrico è definito da un'equazione lineare, precisamente l'equazione del prodotto scalare solito [tex]\mathbf v \cdot \mathbf x = 0[/tex]. Questa è l'equazione di un iperpiano, dell'iperpiano ortogonale a [tex]\mathbf v[/tex]. Tenendo quest'esempio in mente, non è difficile capire come calcolare il complemento ortogonale di un sottospazio qualsiasi. Pertanto possiamo applicare questo procedimento all'iperpiano [tex]\mathbf v \cdot \mathbf x = 0[/tex]; quello che otterremo è il complemento ortogonale dell'iperpiano in questione, che sappiamo già essere [tex]\mathbf v[/tex]; pertanto otteniamo le equazioni cartesiane di [tex]\langle \mathbf v \rangle[/tex].
Comunque, se vuoi approfondire questi argomenti a livello teorico, posso consigliarti di leggere gli Elementi di geometria Analitica di Nacinovich. Non è un testo facile, ma dà grandi soddisfazioni quando lo si capisce!
Grazie mille per la spiegazione maurer, anche se devo dire di aver capito solo la parte intuitiva dal momento che molte cose, come il concetto di "dualità non degenere" o "annullatore" non sono stati introdotti nel mio corso. Sono iscritto a ingegneria quindi penso che questi argomenti sono da noi trattati in modo molto piu superficiale 
Devo ancora rifletterci su parecchio ma credo di aver afferrato il concetto, grazie ancora
Devo ancora rifletterci su parecchio ma credo di aver afferrato il concetto, grazie ancora
Prego. In ogni caso, sono sì argomenti semplici, ma nello stesso tempo sono forse un po' difficili da digerire (soprattutto per le notazioni, credo) la prima volta. Siccome fai ingegneria, molte delle cose che ho scritto probabilmente non ti serviranno, quindi non spaccartici troppo la testa se non per interesse personale!
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