Sottospazio ortogonale

[killa1]

Se io ho un sottospazio vettoriale $S$, di cui conosco la dimensione e una base, come faccio praticamente a trovare una base e la dimensione del sottospazio ortogonale?

Dato che il mio professore non l'ha spiegata bene questa cosa, mi è venuto in mente solo che la dimensione dovrebbe essere la stessa, e devo trovare dei vettori ortogonali a quelli della base di $S$ imponendo che il prodotto scalare sia uguale a 0?

[mistake89]

il sottospazio ortogonale è così definito $S^(\bot)={vinV|b(u,v)=0$ $AAuinS}$
Quindi basta avere una forma bilineare (non necessariamente prodotto scalare) ed imporre che un generico vettore di $v=(x_1,...,x_n)$ sia contemporaneamente ortogonale a tutti i vettori di base di $S$. Otterrai un sistema ed da ciò ricaverai una base.

[killa1]

Mmm ma aspetta io non ho ben capito cosa sia una forma bilineare, o meglio non so come si trova.
Se uso il prodotto scalare va bene?

Comunque grazie!

[mistake89]

il prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica definita positiva... perciò sì

[killa1]

Ok grazie

[misanino]

"killa":

Dato che il mio professore non l'ha spiegata bene questa cosa, mi è venuto in mente solo che la dimensione dovrebbe essere la stessa, e devo trovare dei vettori ortogonali a quelli della base di $S$ imponendo che il prodotto scalare sia uguale a 0?

E' giusto trovare i vettori ortogonali imponendo che il prodotto scalare con i vettori della base del sottospazio (di cui devi trovare l'ortogonale) sia 0.
Invece non è vero che la dimensione dell'ortogonale è la stessa del sottospazio di partenza!!
Può esserlo, come può tranquillamente non esserlo

[killa1]

Grazie anche a te misanino...sì infatti svolgendo un esercizio mi era venuto il dubbio di aver pensato una cavolata, visto che mi venivano diverse

[Gatto891]

Se non ricordo male, lavorando con il prodotto scalare, preso $S$ sottospazio vettoriale di $V$ si ha che $S \oplus S^(\bot) = V$ (somma diretta) e quindi $DIM(S^(\bot)) = DIM(V) - DIM(S)$; quindi puoi usare quella formula per ricavarti immediatamente $DIM(S^(\bot))$ e usarlo controprova una volta trovato il tuo sottospazio ortogonale per vedere se la dimensione coincide (ovvero, se non hai sbagliato i calcoli).