Sottospazio ortogonale
Dato uno spazio vettoriale $V$ e un suo sottospazio $S$, per trovare $S^\bot$ oltre a scrivere il vettore generico e trovare le equazioni cartesiane in modo che questo sia ortogonale ai vettori della base di $S$; posso anche utilizzare Gram-Schmidt per trovare una base di $S^\bot$ a partire da una base di $S$?
Spero di essere stato chiaro...
Spero di essere stato chiaro...
Risposte
Intendi dire questo? Sei in uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$ (per cui $V=S\oplus S^\bot$), hai una base $e_1,...,e_r$ di $S$, la completi ad una base $e_1,...,e_r,e_{r+1},...,e_n$ di $V$ e poi ortogonalizzi ad una base ortogonale $v_1,...,v_r,v_{r+1},...,v_n$ di $V$. Si ha che $S^\bot=Span(v_{r+1},...,v_n)$.
Allora la risposta alla tua domanda è affermativa.
Se ti va, puoi provare a dimostrarlo. Basta usare il fatto che, dal teorema di Gram-Schmidt, si ha che $Span(e_1,...,e_k)=Span(v_1,...,v_k)$ per ogni $k=1,...,n$.
Allora la risposta alla tua domanda è affermativa.
Se ti va, puoi provare a dimostrarlo. Basta usare il fatto che, dal teorema di Gram-Schmidt, si ha che $Span(e_1,...,e_k)=Span(v_1,...,v_k)$ per ogni $k=1,...,n$.
Penso di non essere stato chiaro. Provo con un esempio:
Dato lo spazio $S$ con basi $v_1 = (2/3, 1, 0, 0); v_2 = (0, 0, -1, 1)}$; trovare $S^bot$
Io ho impostato l'esercizio in questo modo: sia $(x, y, z, w) in S^bot$
$ = 0$ e $ = 0$ e quindi trovo le equazioni cartesiane del vettore generico appartenente ad $S^bot$.
Ora mi chiedevo sarebbe possibile determinare $S^bot$ trovando le sue basi con Gram-Schmidt applicato ai vettori $v_1 v_2$?
Dato lo spazio $S$ con basi $v_1 = (2/3, 1, 0, 0); v_2 = (0, 0, -1, 1)}$; trovare $S^bot$
Io ho impostato l'esercizio in questo modo: sia $(x, y, z, w) in S^bot$
$
Ora mi chiedevo sarebbe possibile determinare $S^bot$ trovando le sue basi con Gram-Schmidt applicato ai vettori $v_1 v_2$?
Ma se ortogonalizzi $v_1$ e $v_2$ con Gram-Schmidt ottieni due vettori ortogonali fra loro che sono base di $S$ e non di $S^\bot$!
Ho capito male la tua domanda? Forse sì.
Se ti va, puoi postarmi come intendi procedere in questo esempio e provo a dirti se, secondo me, stai procedendo bene.
Ho capito male la tua domanda? Forse sì.
Se ti va, puoi postarmi come intendi procedere in questo esempio e provo a dirti se, secondo me, stai procedendo bene.
Penso tu abbia capito bene! Mi sa che sono io ad avere le idee un pò confuse 
Quando applico Gram-Schmidt a $v_1$ e $v2$, basi di $S$ ($v_1 = w_1$ e $w_2 = v_2 - ()/() * w_1$) non ottengo $w_1$ e $w_2$ basi di $S^bot$?
Quando applico Gram-Schmidt a $v_1$ e $v2$, basi di $S$ ($v_1 = w_1$ e $w_2 = v_2 - (
In effetti non me ne ero accorto, $v_1$ e $v_2$ sono già ortogonali.
Provo a spiegarti in poche parole come funziona l'algoritmo di Gram-Schmidt.
Sei in uno spazio munito di prodotto scalare $<\cdot,\cdot>$
Hai $r$ vettori linearmente indipendenti $v_1,...v_r$. Con l'algoritmo ottieni $r$ vettori $w_1,...w_r$ che hanno la proprietà particolare di essere a due a due ortogonali (in generale i vettori iniziali non lo erano). In più se prendi i primi $k$ vettori di quelli iniziali e i primi $k$ di quelli ottenuti dall'algoritmo, allora essi generano lo stesso sottospazio (con $1\le k\le r$).
Quindi se prendi la base $v_1,v_2$ di un sottospazio $S$, allora dopo aver applicato Gram-Schmidt ottieni due vettori $w_1,w_2$ ortogonali fra loro e tali che
$ =$
$S= =$
Quindi $w_1,w_2$ sono linearmente indipendenti (perchè ortogonali) e generano $S$. Quindi formano una base di $S$ (e non di $S^\bot$!)
In generale data una base $v_1,...,v_r$ di un certo spazio $U$, dopo aver applicato Gram-Schmidt ottieni ancora una base $w_1,...,w_r$ di $U$, ma con l'ulteriore proprietà di essere ortogonale (formata da vettori a due a due ortogonali).
Spero di averti aiutato ad avere le idee meno confuse
Provo a spiegarti in poche parole come funziona l'algoritmo di Gram-Schmidt.
Sei in uno spazio munito di prodotto scalare $<\cdot,\cdot>$
Hai $r$ vettori linearmente indipendenti $v_1,...v_r$. Con l'algoritmo ottieni $r$ vettori $w_1,...w_r$ che hanno la proprietà particolare di essere a due a due ortogonali (in generale i vettori iniziali non lo erano). In più se prendi i primi $k$ vettori di quelli iniziali e i primi $k$ di quelli ottenuti dall'algoritmo, allora essi generano lo stesso sottospazio (con $1\le k\le r$).
Quindi se prendi la base $v_1,v_2$ di un sottospazio $S$, allora dopo aver applicato Gram-Schmidt ottieni due vettori $w_1,w_2$ ortogonali fra loro e tali che
$
$S=
Quindi $w_1,w_2$ sono linearmente indipendenti (perchè ortogonali) e generano $S$. Quindi formano una base di $S$ (e non di $S^\bot$!)
In generale data una base $v_1,...,v_r$ di un certo spazio $U$, dopo aver applicato Gram-Schmidt ottieni ancora una base $w_1,...,w_r$ di $U$, ma con l'ulteriore proprietà di essere ortogonale (formata da vettori a due a due ortogonali).
Spero di averti aiutato ad avere le idee meno confuse
Penso di aver capito. Un'altra domanda: quando normalizzo i vettori, ottengo quindi una base ortonormale sempre dello spazio di partenza?
Se parti da una base dello spazio, sì, l'ho scritto nel mio post precedente!
"cirasa":
In generale data una base $v_1,...,v_r$ di un certo spazio $U$, dopo aver applicato Gram-Schmidt ottieni ancora una base $w_1,...,w_r$ di $U$, ma con l'ulteriore proprietà di essere ortogonale (formata da vettori a due a due ortogonali).
Parlavo di vettori ortonormali. E' la stessa cosa quindi?
Scusa, hai ragione, avevo letto male 
Comunque, la risposta è sì, in uno spazio vettoriale $V$ munito di prodotto scalare (visto che ci sono definizioni diverse a seconda degli autori, per me il prodotto scalare è una forma bilineare su $V$ definita positiva).
Una volta ottenuta la base ortogonale, puoi considerare la base formata dagli stessi vettori normalizzati.
"Normalizzare" un vettore [tex]\displaystyle v\neq 0[/tex] significa considerare il suo versore [tex]\displaystyle n=\frac{v}{\|v\|}[/tex].
Scusa di nuovo, se ho letto male il tuo post...
Comunque, la risposta è sì, in uno spazio vettoriale $V$ munito di prodotto scalare (visto che ci sono definizioni diverse a seconda degli autori, per me il prodotto scalare è una forma bilineare su $V$ definita positiva).
Una volta ottenuta la base ortogonale, puoi considerare la base formata dagli stessi vettori normalizzati.
"Normalizzare" un vettore [tex]\displaystyle v\neq 0[/tex] significa considerare il suo versore [tex]\displaystyle n=\frac{v}{\|v\|}[/tex].
Scusa di nuovo, se ho letto male il tuo post...
Figurati anzi, grazie per avermi aiutato!!
anzi, grazie per avermi aiutato!!
Prego!
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