Sottospazio matrici simmetriche ?
ciao a tutti ieri il mio prof ha spiegato il sottospazio delle matrici simmetriche, ma non sono riuscito a capire molto.. se magari mi potete dare un aiuto sarei molto grato!
ecco l'esempio :
V = {AinM(nxx n)| A=A^t}
devo verificare che è un sottospazio di M(nxx n)
grazie a tutti
ecco l'esempio :
V = {AinM(nxx n)| A=A^t}
devo verificare che è un sottospazio di M(nxx n)
grazie a tutti
Risposte
Riscrivo $ V=[ A in M_(nxn) | A=A^T ]$
Le matrici simmetriche sono quelle matrici che sono uguali alla matrice trasposta ( scambio di righe con colonne ).
E' un sottospazio delle matrici $nxn$ ? Sì
se sommo due matrici simmetriche dello stesso ordine $nxn $ ottengo ancora una matrice simmetrica
se moltiplico una matrice simmetrica per un numero reale ottengo ancora una matrice simmetrica i cui elementi sono stati moltiplicati per il numero reale
Infatti , per semplicità sia $n=2 $ ; considero la matrice $A = ((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22))) $ se la matrice è simmetrica allora per definizione è $a_(12)=a_(21 )$
Considero ora la matrice $B=((b_(11),b_(12)),(b_(21),b_(22))) $ se la matrice è simmetrica allora $b_(12)=b_(21) $.
Sommiamo le matrici $A+B $ otterremo ancora una matrice simmetrica ok ?
Idem se moltiplico una matrice simmetrica $A = ((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22))) $ con $a_(12)=a_(21) $ per un numero reale $lambda $ otterremo ancora una matrice simmetrica ok ?
Quindi le matrici simmetriche sono un sottospazio delle matrici $nxn$ in quanto
sono chiuse rispetto
*alle operazioni di somma ( somma di matrici simmetriche è ancora una matrice simmetrica )
*e di prodotto esterno ( prodotto tra un numero reale e una matrice simmetrica fornisce ancora una matrice simmetrica ).
Le matrici simmetriche sono quelle matrici che sono uguali alla matrice trasposta ( scambio di righe con colonne ).
E' un sottospazio delle matrici $nxn$ ? Sì
se sommo due matrici simmetriche dello stesso ordine $nxn $ ottengo ancora una matrice simmetrica
se moltiplico una matrice simmetrica per un numero reale ottengo ancora una matrice simmetrica i cui elementi sono stati moltiplicati per il numero reale
Infatti , per semplicità sia $n=2 $ ; considero la matrice $A = ((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22))) $ se la matrice è simmetrica allora per definizione è $a_(12)=a_(21 )$
Considero ora la matrice $B=((b_(11),b_(12)),(b_(21),b_(22))) $ se la matrice è simmetrica allora $b_(12)=b_(21) $.
Sommiamo le matrici $A+B $ otterremo ancora una matrice simmetrica ok ?
Idem se moltiplico una matrice simmetrica $A = ((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22))) $ con $a_(12)=a_(21) $ per un numero reale $lambda $ otterremo ancora una matrice simmetrica ok ?
Quindi le matrici simmetriche sono un sottospazio delle matrici $nxn$ in quanto
sono chiuse rispetto
*alle operazioni di somma ( somma di matrici simmetriche è ancora una matrice simmetrica )
*e di prodotto esterno ( prodotto tra un numero reale e una matrice simmetrica fornisce ancora una matrice simmetrica ).
Aggiungo un esempio .
Sia $A=((2,3),(3,7)) ; B= ((1,6),(6,5)) $ entrambe simmetriche .
Le sommo e ottengo $ C=A+B = ((3,9),(9,12))$ pure simmetrica
Inoltre verifico che $C= lambda *A $ sia ancora simmetrica . Infatti $ C=((lamda*2,lambda*3),( lambda*3,lambda*7 ))$ chiaramente simmetrica ( $ lambda in RR ) $.
Sia $A=((2,3),(3,7)) ; B= ((1,6),(6,5)) $ entrambe simmetriche .
Le sommo e ottengo $ C=A+B = ((3,9),(9,12))$ pure simmetrica
Inoltre verifico che $C= lambda *A $ sia ancora simmetrica . Infatti $ C=((lamda*2,lambda*3),( lambda*3,lambda*7 ))$ chiaramente simmetrica ( $ lambda in RR ) $.
grazie mille delle risposte e scusa il ritardo..
comunque sei stato veramente formidabile ! ho capito ora il perchè
thanks
comunque sei stato veramente formidabile ! ho capito ora il perchè
thanks
però ho ancora un dubbio.. perchè il mio prof non lo ha dimostrato così ma lo ha dimostrato facendo uso della base canonica ?
Cosa intendi esattamente con "uso della base canonica " ? Come ha svolto la dimostrazione ?
N.B. Nel mio primo post la dimostrazione era solo accennato ma non sviluppata fino in fondo.
La riprendo e la completo.
Per semplicità di notazione sia $n=2 $.
$A=((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22))) ; B= ((b_(11),b_(12)),(b_(21),b_(22)))$
per ipotesi le matrici sono simmetriche , quindi $ a_(12)=a_(21) ; b_(12)=b_(21 )$
La simmetria indica che i termini sono speculari rispetto alla diagonale principale, cioè in simboli e in generale : $a_(ik) =a_(ki) ,AA i,k in n $.
Costruisco ora la matrice somma $C=((c_(11),c_(12)),(c_(21),c_(22))) =A+B = ((a_(11)+b_(11), a_(12)+b_(12)),(a_(21)+b_(21),a_(22)+b_(22)))$
Essendo per ipotesi : $ a_(12)=a_(21) ; b_(12)=b_(21) $ è anche $ a_(12)+b_(12)=a_(21)+b_(21) $ e quindi $ c_(12)=c_(21)$.La matrice somma è anch'essa simmetrica.
Analogamente si procede per la dimostrazione del prodotto di una matrice simmetrica per un numero reale .
Nel mio secondo post non c'era alcuna dimostrazione ma solo una verifica applicata a due matrici simmetriche .
N.B. Nel mio primo post la dimostrazione era solo accennato ma non sviluppata fino in fondo.
La riprendo e la completo.
Per semplicità di notazione sia $n=2 $.
$A=((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22))) ; B= ((b_(11),b_(12)),(b_(21),b_(22)))$
per ipotesi le matrici sono simmetriche , quindi $ a_(12)=a_(21) ; b_(12)=b_(21 )$
La simmetria indica che i termini sono speculari rispetto alla diagonale principale, cioè in simboli e in generale : $a_(ik) =a_(ki) ,AA i,k in n $.
Costruisco ora la matrice somma $C=((c_(11),c_(12)),(c_(21),c_(22))) =A+B = ((a_(11)+b_(11), a_(12)+b_(12)),(a_(21)+b_(21),a_(22)+b_(22)))$
Essendo per ipotesi : $ a_(12)=a_(21) ; b_(12)=b_(21) $ è anche $ a_(12)+b_(12)=a_(21)+b_(21) $ e quindi $ c_(12)=c_(21)$.La matrice somma è anch'essa simmetrica.
Analogamente si procede per la dimostrazione del prodotto di una matrice simmetrica per un numero reale .
Nel mio secondo post non c'era alcuna dimostrazione ma solo una verifica applicata a due matrici simmetriche .
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo