Sottospazio M3(R)

[ennedes]

Salve a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi come procedere con questo esercizio?

Sia $ U = {A in M3(R) : AB = 0}, dove B = ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( -3 , 0 , 0 ) ). $
a) Dimostrare che U è un sottospazio di M3(R) e calcolarne una base e la dimensione.
b) Completare la base di U a base di M3(R)

Allora, per quanto riguarda il primo punto, se ho capito bene devo dimostrare che U è un sottospazio controllando che sia chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalare. Quindi moltiplico una generica matrice A 3x3 per B e verifico quanto detto prima. Come calcolo la base?

[donald_zeka]

Allora, bisogna trovare le A tali che $AB=0$, pertanto sia $A=( ( a , b , c ),( a' , b' , c' ),( a'' , b'' , c'' ) )$
Si ha: $AB=( ( a , b , c ),( a' , b' , c' ),( a'' , b'' , c'' ) )*( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( -3 , 0 , 0 ) )=( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$

Da cui:

$a-3c=0, a'-3c'=0, a''-3c''=0 -> a=3c, a'=3c', a''=3c''$

$b=0, b'=0, b''=0$

A è dunque del tipo: $A=( ( 3c , 0 , c),( 3c', 0 , c' ),( 3c'' , 0 , c'' ) )$

E una sua base è: $[( ( 3 , 0 , 1),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0) ); ( ( 0 , 0 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ); ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) )]$ e la sua dimensione è $3$

[ennedes]

Ho capito! Grazie mille per la chiarezza! Mi è sorto un dubbio però... Quando dimostro che U è un sottospazio, quale matrice devo usare?

[donald_zeka]

Non devi usare alcuna matrice particolare, devi usare una generica matrice che rispetta quella determinata condizione e verificare la chiusura rispetto a somma e prodotto:

1) Siano $X$ e $Y$ appartenenti a $U$ due matrici tali che $XB=0$ e $YB=0$, Allora Anche la matrice $Z=(X+Y)$ appartiene a $U$, infatti $ZB=(X+Y)B=XB+YB=0$;

2) Sia $X $ una matrice appartenente a $U$ tale che $XB=0$, allora anche $kX$ appartiene a $U$, infatti $(kX)B=k(XB)=0$

[ennedes]

Molto più semplice di quanto pensassi, ti ringrazio! Soltanto un'ultima cosa se possibile, e riguarda il secondo punto. Credo di aver capito che per completare a base posso sfruttare l'isomorfismo e quindi lavorare con vettori invece che con matrici. Quindi procedo aggiungendo un qualsiasi vettore che sia ortogonale ai vettori dati. Però non ho mai affrontato un esercizio di questo tipo (di solito mi si chiede di completare una base di $R^4$ ad esempio) e sono un po' spaesata. Devo comunque aggiungere un solo vettore?