Sottospazio intersezione
Salve, avrei bisogno di un urgente aiuto sull'esercizio numero 3 nella foto, in particolare nel secondo punto:
Quello che ho svolto fin'ora é stato, riscrivere il sottospazio S, sostituendo ad y = -2Z-2X, e poi tovare una base per S, semplicemnte sostituendo 1 ai valori X, Z e W. Pertanto dimS = 3.
Ora stavo proprio ragionando sulle dimensione, ovvero, che per il Teorema di Grassmann, dovendo risultare l'intersezione di S e di T (che devo trovare) nulla, e sapendo che T€R^4, necessariamente la dimT = 1. Come trovo T avendo a disposizione tutte queste informazioni? Grazie
Quello che ho svolto fin'ora é stato, riscrivere il sottospazio S, sostituendo ad y = -2Z-2X, e poi tovare una base per S, semplicemnte sostituendo 1 ai valori X, Z e W. Pertanto dimS = 3.
Ora stavo proprio ragionando sulle dimensione, ovvero, che per il Teorema di Grassmann, dovendo risultare l'intersezione di S e di T (che devo trovare) nulla, e sapendo che T€R^4, necessariamente la dimT = 1. Come trovo T avendo a disposizione tutte queste informazioni? Grazie
Risposte
Mi verrebbe da dire di costruire il sottospazio T = {(x,y,z,w)€R^4 : x = 0, y = 0, w = 0}, ma non so...
Sì, direi proprio che va bene.
$S={(x,y,z,w) in RR^4| \quad 2x+y+2z=0 }$ ha dimensione $3$;
$T= {(x,y,z,w) in RR^4| \quad x=0 ^^ z=0 ^^ w=0 }$ ha dimensione $1$;
$S nn T = {(0,0,0,0)}$: se $(x,y,z,w) in S nn T$ allora ${(2x+y+2z=0),(x=0),(z=0),(w=0):}=> {(y=0),(x=0),(z=0),(w=0):}$
Per il teorema di Grassmann si ha $dim(S +T) = dim(S)+dim(T)+dim(S nn T)= 3+1+0=4= dim(RR^4)$, dunque $S+T=RR^4$.
Fine
$S={(x,y,z,w) in RR^4| \quad 2x+y+2z=0 }$ ha dimensione $3$;
$T= {(x,y,z,w) in RR^4| \quad x=0 ^^ z=0 ^^ w=0 }$ ha dimensione $1$;
$S nn T = {(0,0,0,0)}$: se $(x,y,z,w) in S nn T$ allora ${(2x+y+2z=0),(x=0),(z=0),(w=0):}=> {(y=0),(x=0),(z=0),(w=0):}$
Per il teorema di Grassmann si ha $dim(S +T) = dim(S)+dim(T)+dim(S nn T)= 3+1+0=4= dim(RR^4)$, dunque $S+T=RR^4$.
Fine
Ti ringrazio molto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo