Sottospazio Im(f)

[lepre561]

Salve il mio prof chiede la dimostrazione di questo teorema e dato che sul libro non c'è ho provato da solo e vorrei sapere se andasse bene.

TEO
il sottospazio $Im(f)$ di un applicazione lineare $f:V->W$ è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di $V$.

DIM
$F$ è lineare, perciò $F(av)=aF(v)$ e $F(v1+v2)=F(v1)+F(v2)$
sai che tutti i vettori di V si scrivono come combinazione lineare dei generatori ${v1,..,vn}$ di $V$, cioè
$v = av1 + bv2 +...+ zvn.$ quindi
$F(v) = F(av1+bv2+...+zvn)
= F(av1) + F(bv2) + ... + F(zvn)
= aF(v1) +bF(v2)+...+zF(vn)$
poichè come detto tutti i vettori di $V$ sono combinazione lineari dei generatori, ogni volta che manderemo un vettore attraverso $F$, la sua immagine si scriverà come combinazione lineare di $F(v1),F(v2),..,F(vn)$

[anto_zoolander]

L’idea di fondo non mi sembra sbagliata, ma c’è troppo fumo nella dimostrazione.
Devi mostrare due cose:

• $im(F)subseteq$
• $ subseteqim(F)$

[lepre561]

"anto_zoolander":L’idea di fondo non mi sembra sbagliata, ma c’è troppo fumo nella dimostrazione.
Devi mostrare due cose:

• $im(F)subseteq$
• $ subseteqim(F)$

mi hai messo in difficoltà non so come fare

[anto_zoolander]

nel precedente post era $$ ho sbagliato a scrivere.

Se ti ho detto che l’idea è quella
Per fumo intendo troppe parole che distolgono dalla dimostrazione.

• $w in im(F)=>existsv inV:F(v)=w$
ma $v in => w=F(a_1v_1+...+a_nv_n)$
Per la linearità $w=a_1F(v_1)+...+a_nF(v_n)$

Questa prima parte dimostra che $im(F)subseteq:=A$

• $w in A=> existsa_1,..,a_n inK:w=a_1F(v_1)+...+a_nF(v_n)$
Quindi $w=F(a_1v_1+...+a_nv_n)=F(v)$
Pertanto $forallw inWexistsv inV:F(v)=w$

Questa seconda parte conclude la dimostrazione.
Se guardi in linea di massima l’idea è uguale a quella tua, però mancavano un paio di cose tra cui la tua convinzione probabilmente.

[lepre561]

"anto_zoolander":nel precedente post era $$ ho sbagliato a scrivere.

Se ti ho detto che l’idea è quella
Per fumo intendo troppe parole che distolgono dalla dimostrazione.

• $w in im(F)=>existsv inV:F(v)=w$
ma $v in => w=F(a_1v_1+...+a_nv_n)$
Per la linearità $w=a_1F(v_1)+...+a_nF(v_n)$

Questa prima parte dimostra che $im(F)subseteq:=A$

• $w in A=> existsa_1,..,a_n inK:w=a_1F(v_1)+...+a_nF(v_n)$
Quindi $w=F(a_1v_1+...+a_nv_n)=F(v)$
Pertanto $forallw inWexistsv inV:F(v)=w$

Questa seconda parte conclude la dimostrazione.
Se guardi in linea di massima l’idea è uguale a quella tua, però mancavano un paio di cose tra cui la tua convinzione probabilmente.

Giusto una cosa $$ va al posto di $$ sia sopra che sotto???