Sottospazio generato da un sistema di vettori
Salve a tutti.
il problema è il seguente:
Sia $L_t$ (al variare del parametro t) il sottospazio generato da:
$S_t$ = [(-2,1,3,0),(2,1,1,-1),(2,3,2,1),(0,t+1,-1,-2) ]
Determinare la dimensione di $L_t$ al variare del parametro t. Posto poi t= -3 descrivere $L_-3$ . Se $B_-3$ è una sua base, completarla ad una base di $R^4$ .
Questo esercizio l'ho gia prorposto in passato.
lo ripropongo pe dirvi almeno la prima parte come l'ho fatta.
allora ho disposto i vettori in una matrice e l'ho ridotta a scalini e ho dedotto che per t = -1 il sistema ha rango 4 e il sottospazio generato ha rango 4 anch'esso.
Poi per quanto riguarda $L_-3$ ho che per t= - 3 facendo lo stesso procedimento di prima e riducendo a sclaini la matrice associata al sistema di vettori ottengo che la matrice ha rango 2 e il sottospazio relativo ha anche esso rango 2.
Ora voglio chiedervi un'ultima cosa per cercare di termianre questo esercizio:
una possibile $B_-3$ del sistema può essere:
[ $u_1$ = (- 1/2, -4, 1, 0) $u_2$ = (1/2, 1, 0, 1) ] ????
Poi eventualmente avessi ragione la so completare ad una base di $R_4$ .
Ditemi di si e rispondetemi per piacere
cosi mi levate qualke dubbio e avro forse qualke certezza in piu !
OVVIAMENTE SE HO SBAGLIATO QUALCOSA CORREGGETEMI
GRAZIE A TUTTI.
il problema è il seguente:
Sia $L_t$ (al variare del parametro t) il sottospazio generato da:
$S_t$ = [(-2,1,3,0),(2,1,1,-1),(2,3,2,1),(0,t+1,-1,-2) ]
Determinare la dimensione di $L_t$ al variare del parametro t. Posto poi t= -3 descrivere $L_-3$ . Se $B_-3$ è una sua base, completarla ad una base di $R^4$ .
Questo esercizio l'ho gia prorposto in passato.
lo ripropongo pe dirvi almeno la prima parte come l'ho fatta.
allora ho disposto i vettori in una matrice e l'ho ridotta a scalini e ho dedotto che per t = -1 il sistema ha rango 4 e il sottospazio generato ha rango 4 anch'esso.
Poi per quanto riguarda $L_-3$ ho che per t= - 3 facendo lo stesso procedimento di prima e riducendo a sclaini la matrice associata al sistema di vettori ottengo che la matrice ha rango 2 e il sottospazio relativo ha anche esso rango 2.
Ora voglio chiedervi un'ultima cosa per cercare di termianre questo esercizio:
una possibile $B_-3$ del sistema può essere:
[ $u_1$ = (- 1/2, -4, 1, 0) $u_2$ = (1/2, 1, 0, 1) ] ????
Poi eventualmente avessi ragione la so completare ad una base di $R_4$ .
Ditemi di si e rispondetemi per piacere
cosi mi levate qualke dubbio e avro forse qualke certezza in piu ! OVVIAMENTE SE HO SBAGLIATO QUALCOSA CORREGGETEMI
GRAZIE A TUTTI.
Risposte
come sei arrivato ad i vettori $u1$, $u2$??
per cads24:
per determianre una sua $B_-3$ ho ridotto a scalini la matrice avente per righe i vettori del sistema in questione (naturalmente ponendo t= -3).
riducendo a scalini mi ritrovo la seguente matrice
$((-2,1,3,0),(0,2,4,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
che ho inteso come matrice dei coefficienti del sistema lineare omogeneo composto dalle seguenti equazioni:
-2x + y + 3z = 0
y + 4z - t = 0
le uniche variabili "libere" sono z e t
ho dato ad essi i seguenti valori:
z=1 , t=0 , y=-4, x= -1/2
z=0 , t=1 , y=1, x=1/2
ed ottengo i vettori prima detti che costituiscono una $B_-3$ .
IO HO FATTO COSì MA NON SONO SICURO . PER QUESTO CHIEDO ANCHE AGLI ALTRI PIU ESPERTI DI ME DI DIRMI SE HO FATTO QLK ERRORE. E' molto importante !!!
vi ringrazio .
per determianre una sua $B_-3$ ho ridotto a scalini la matrice avente per righe i vettori del sistema in questione (naturalmente ponendo t= -3).
riducendo a scalini mi ritrovo la seguente matrice
$((-2,1,3,0),(0,2,4,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
che ho inteso come matrice dei coefficienti del sistema lineare omogeneo composto dalle seguenti equazioni:
-2x + y + 3z = 0
y + 4z - t = 0
le uniche variabili "libere" sono z e t
ho dato ad essi i seguenti valori:
z=1 , t=0 , y=-4, x= -1/2
z=0 , t=1 , y=1, x=1/2
ed ottengo i vettori prima detti che costituiscono una $B_-3$ .
IO HO FATTO COSì MA NON SONO SICURO . PER QUESTO CHIEDO ANCHE AGLI ALTRI PIU ESPERTI DI ME DI DIRMI SE HO FATTO QLK ERRORE. E' molto importante !!!
vi ringrazio
.
salve mi correggo circa la base .
dovrei essermi sbagliato perchè data la matrice ridotta a scalini che ho scritto nel messaggio precedente, noto che i pivot sono nelle prime due colonne e di conseguienza i corrispondenti vettori cioè i primi due vettori e wuindi i vettori di S che formano una base per S stesso e quindi la famosa $B_-3$ che sto cercando sono :
(-2,1,3,0) e (2,1,1,-1)
quindi la base $B_-3$ che cerco è prorpio:
$B_-3$ = [$u_1$ = (-2,1,3,0) e $u_2$ = (2,1,1,-1) ] .
CHIEDO ORA SE HO FATTO BENE . RISPONDETE SE POTETE GRAZIE A TUTTI
dovrei essermi sbagliato perchè data la matrice ridotta a scalini che ho scritto nel messaggio precedente, noto che i pivot sono nelle prime due colonne e di conseguienza i corrispondenti vettori cioè i primi due vettori e wuindi i vettori di S che formano una base per S stesso e quindi la famosa $B_-3$ che sto cercando sono :
(-2,1,3,0) e (2,1,1,-1)
quindi la base $B_-3$ che cerco è prorpio:
$B_-3$ = [$u_1$ = (-2,1,3,0) e $u_2$ = (2,1,1,-1) ] .
CHIEDO ORA SE HO FATTO BENE . RISPONDETE SE POTETE GRAZIE A TUTTI
Secondo me hai fatto bene in quest'ultimo passaggio, infatti se per $t=-3$ la matrice ha rango 2 vuol dire che puoi prendere 2 vettori di quel sistema di generatori iniziale che saranno sicuramente indipendenti, e formano quindi una base.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo