Sottospazio generato da un insieme $S$ di vettori
Non riesco mai a capire le dimostrazioni in cui si conclude per l'identità di due insiemi, enti - ad es., $A$ e $B$ avendo dimostrato che vale sia $AsupB$ quanto $AsubB$ $=>$ $A-=B$. Posto se qualcuno ha la pazienza di darmi una dritta trascrivendo esattamente le parole del prof. a lezione: "Per esaminare la struttura di $L(S)$ - ha preannunciato che, dato un sottinsieme $S$, $L(S)$ è il minore dei sottospazi che contengono $S$ - consideriamo il sottinsieme $W(S)subV$ così definito: $x$ $in$ $W(S)$ $hArr$ $x$ risulta combinazione lineare di elementi di $S$ - in numero finito -. Risulta chiaro che, se $x$ $in$ $W(S);yinW(S),\lamda, \muinK$ $=>$ $\lambdax+muyinW(S)$. Inoltre $W(S)supS$. Dunque, $W(S)$ risulta essere un sottospazio di $V$ che contiene $S$ - e fin qui . . . - : segue che $L(S)subW(S)$ - e qui già mi perdo, io capisco solo che $W(S)$ è già $L(S)$ perché contiene già tutte le combinazioni lineari dei vettori $inS$, invece la dimostrazione prosegue -
Inversamente, se $x$ risulta combinazione lineare di elementi $inS$, allora $x$ $in$ $L(S)$, perché $L(S)$ è sottospazio contenente $S$. Consegue che $W(S)subL(S)$. Dunque $W(S)=L(S)$, cioè il sottospazio $L(S)$ generato da $S$ coincide col sottospazio delle combinazioni lineari di elementi $inS$."
Il fatto è che a me questa dimostrazione sembra soltanto una tautologia e non riesco ad afferrarne il senso . . .
Eppure, se il prof. ci si affanna, avrà pure un qualche senso . . . Grazie $oo$
P.S.: non riesco neppure a ravvisare il nesso con quanto ha spiegato il prof. a proposito del teorema e non mi risulta chiaro se davvero c'entri in qualche modo. Il prof. ha detto che per un vettore nell'origine il sottospazio minimo è la retta che lo contiene - $\lambdax$ se $x$ è il vettore -. Infatti, il vettore $x$ potrebbe anche essere contenuto in un piano per l'origine, ma il piano non costituirebbe - per quel vettore - sottospazio minimale.
Inversamente, se $x$ risulta combinazione lineare di elementi $inS$, allora $x$ $in$ $L(S)$, perché $L(S)$ è sottospazio contenente $S$. Consegue che $W(S)subL(S)$. Dunque $W(S)=L(S)$, cioè il sottospazio $L(S)$ generato da $S$ coincide col sottospazio delle combinazioni lineari di elementi $inS$."
Il fatto è che a me questa dimostrazione sembra soltanto una tautologia e non riesco ad afferrarne il senso . . .
Eppure, se il prof. ci si affanna, avrà pure un qualche senso . . . Grazie $oo$
P.S.: non riesco neppure a ravvisare il nesso con quanto ha spiegato il prof. a proposito del teorema e non mi risulta chiaro se davvero c'entri in qualche modo. Il prof. ha detto che per un vettore nell'origine il sottospazio minimo è la retta che lo contiene - $\lambdax$ se $x$ è il vettore -. Infatti, il vettore $x$ potrebbe anche essere contenuto in un piano per l'origine, ma il piano non costituirebbe - per quel vettore - sottospazio minimale.
Risposte
"ROMA91":
$ L(S) $ è il minore dei sottospazi che contengono $ S $
Con minore penso tu intenda il più piccolo, ovvero che, indicata con \( \mathcal{F}\) la famiglia di tutti i sottospazi contententi $S$ si ha:
\[L(S) := \bigcap_{V \in \mathcal{F}} V\]
La formula precedente la puoi anche ignorare, non è importante.
Questa è la tua definizione, punto. Dalla definizione non è immediato che \(L(S)\) sia l'insieme di tutte le combinazioni lineare di elementi di $S$, ovvero $W(S)$. Va dimostrato!
E quindi ha senso la dimostrazione riportata.
Andiamo al tuo dubbio.
"ROMA91":
...segue che $ L(S)subW(S) $ - e qui già mi perdo, io capisco solo che $ W(S) $ è già $ L(S) $ perché contiene già tutte le combinazioni lineari dei vettori $ inS $
Cosa sai di $W(S)$? Beh, è uno spazio vettoriale contenente $S$.
Cosa sai di $L(S)$? Per definizione, è il più piccolo spazio vettoriale contenente $S$.
Da queste due affermazioni discende che sicuramente $L(S) \subseteq W(S)$. D'altronde se $L(S)$ è il più piccolo di sicuro sarà contenuto da tutti gli altri!
Ma tu non sai, se non intuitivamente, che $W(S)$ in realtà coincide con $L(S)$, e quindi la dimostrazione va avanti.
Ci sei?
Certo, la formula dell'intersezione di tutti i sottospazi contenenti $S$ è chiarissima e penso corrisponda esattamente a quanto il prof. ha enunciato a proposito di un insieme composto da un numero qualsiasi, ma finito di vettori allineati nell'origine. Qualsiasi piano - sottospazio - del fascio che abbia la loro retta - che passa per l'origine - quale asse li contiene tutti, ma la loro retta, che passa per l'origine - anch'essa sottospazio - costituisce, in questo caso, un sottospazio di dimensione inferiore - "più piccolo" -. Penso che il prof. si riferisse a ciò. Non mi viene in mente altro.
Ti ringrazio $oo$mente. Sei stato molto paziente ed estremamente chiaro.
Solo un'ultima cosa, se puoi.
Nella II parte del teorema, quella che inizia da "inversamente", si dice che tutte le combinazioni lineari di vettori $inS$ appartengono a $L(S)$ - chiarissimo, a motivo della chiusura rispetto alla combinazione lineare di vettori $inS$ del sottospazio $L(S)$ "per definizione" -. Ma queste stesse combinazioni lineari stanno anche in $W(S)$ a motivo di come è stato definito/costruito. In $W(S)$, dunque, non dovrebbe starci altro per definizione. Allora, perché posso porre $W(S)subL(S)$ e, quindi, concludere per l'identità, dato che già ho dimostrato che $L(S)subW(S)$ ? Che cosa d'altro mai potrebbe esserci in $L(S)$ per poterlo rendere - sia pure ipoteticamente, siamo sempre nell'ambito di una dimostrazione - "più grande" di $W(S)$, dato che tutte le combinazioni lineari dei vettori di $S$ già si trovano in $W(S)$ per definizione?
E c'è un motivo per cui il prof. usa sempre - in dimostrazioni come questa, ma non solo - l'inclusione stretta, mentre a me verrebbe di porla con anche il segno di eguale, cioè $sube$ o $supe$?
E' solo una faccenda di notazioni?
Ancora grazie
Ti ringrazio $oo$mente. Sei stato molto paziente ed estremamente chiaro.
Solo un'ultima cosa, se puoi.
Nella II parte del teorema, quella che inizia da "inversamente", si dice che tutte le combinazioni lineari di vettori $inS$ appartengono a $L(S)$ - chiarissimo, a motivo della chiusura rispetto alla combinazione lineare di vettori $inS$ del sottospazio $L(S)$ "per definizione" -. Ma queste stesse combinazioni lineari stanno anche in $W(S)$ a motivo di come è stato definito/costruito. In $W(S)$, dunque, non dovrebbe starci altro per definizione. Allora, perché posso porre $W(S)subL(S)$ e, quindi, concludere per l'identità, dato che già ho dimostrato che $L(S)subW(S)$ ? Che cosa d'altro mai potrebbe esserci in $L(S)$ per poterlo rendere - sia pure ipoteticamente, siamo sempre nell'ambito di una dimostrazione - "più grande" di $W(S)$, dato che tutte le combinazioni lineari dei vettori di $S$ già si trovano in $W(S)$ per definizione?
E c'è un motivo per cui il prof. usa sempre - in dimostrazioni come questa, ma non solo - l'inclusione stretta, mentre a me verrebbe di porla con anche il segno di eguale, cioè $sube$ o $supe$?
E' solo una faccenda di notazioni?
Ancora grazie
"ROMA91":
Che cosa d'altro mai potrebbe esserci in $L(S)$ per poterlo rendere - sia pure ipoteticamente, siamo sempre nell'ambito di una dimostrazione - "più grande" di $W(S)$, dato che tutte le combinazioni lineari dei vettori di $S$ già si trovano in $W(S)$ per definizione?
Boh
Ma a priori ci potrebbe essere altro, sta a noi dimostrare che non è così.Avremmo potuto definire $L(S)$ come insieme delle combinazioni lineari si elementi di $S$ è verificare poi che tale sottospazio è il più piccolo possibile, ma non sarebbe cambiato nulla.
"ROMA91":
E' solo una faccenda di notazioni?
Assolutamente sì. In generale[nota]Poi ci può sempre essere qualcuno che distingue tra i due, ma è una minoranza.[/nota] i simboli \(\subseteq\) e \(\subset\) hanno lo stesso significato. Quando si vuole indicare un'inclusione stretta lo si scrive esplicitamente, tipo così \(\subsetneqq\).
Io personalmente uso \(\subseteq\) per chiarezza, e abitudine.
Grazie nuovamente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo