Sottospazio dipendente da un parametro

[mx921]

Ciao a tutti mi servirebbe uno spunto da cui partire per fare questo esercizio:

Stabilire per quali valori di h l'insieme:

$V_h = {(x,y,z,t) in RR^4 | x - y +hzt = h^2 -2h}$

è un sottospazio di $RR^4$.

Grazie mille per l'aiuto.

[Gi81]

Prima di tutto, per essere sottospazio il vettore nullo (cioè $(0,0,0,0)$) deve appartenere a $V_h$

[mx921]

Se ho capito bene quindi dovrei sostituire le componenti del vettore nullo alle incognite dell'equazione ottenendo quindi

$h^2 -2h = 0$
Le cui soluzioni sono $h = 0$ e $h = 2$ che sono anche soluzioni dell'esercizio.
Sbaglio qualcosa?

[Gi81]

Per ora non hai sbagliato. Solo che non hai finito. Non basta che ci stia il vettor nullo,
devono valere anche altre proprietà (saprai senz'altro quali)

Però in questo modo hai trovato che se $h!=0$ oppure $h!=2$ allora $V_h$ non è spazio vettoriale, perchè non contiene il vettor nullo.

Devi ora dimostrare se $V_0$ e $V_2$ sono spazi vettoriali

[mx921]

Allora dovrei dimostrare che:

1)presi a caso due vettori di questo sottospazio, la loro somma appartenga $V_0$
2)preso uno scalare $\lambda$, il suo prodotto con un generico vettore di $V_0$ sia un vettore di $V_0$

Quindi

$V_0 = {(x,y,z,t) in RR^4 | x - y = 0}$

Quindi presi $v_1 = (x_1,y_1,z_1,t_1)$ e $v_2 = (x_2,y_2,z_2,t_2)$

La loro somma $(v_1 + v_2) (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2,t_1+t_2)$ appartiene a $V_0 iff x_1+x_2 = y_1 + y_2$

Stesso ragionamento per il prodotto con lo scalare

$\lambdav_1 = (lambdax_1, lambday_1, lambdaz_1, lambdat_1)$ appartiene a $V_0 iff lambdax_1 = lambday_1$

Posso quindi dire che per $V_0$ è un sottospazio di $RR^4$?