Sottospazio di $RR_4[x]$
Ciao, sto cominciando a prepararmi per il compitino di algebra e sto avendo un po' di difficoltà a "scaldarmi". Ad esempio non so bene come procedere in questo esercizio:
Nello spazio $RR_4[x]$ dei polinomi di grado minore o uguale a quattro, si consideri il sottoinsieme
$X_h={p(x)inRR_4[x] | p(1)=0, p(0)=h(3-h)}$, con $h in RR.$
a) Si determini una base del sottospazio $X_3$ con $h=3$
b) Si completi la base trovata nel punto precedente a una base di $RR_4[x]$
c) Si determinino i valori di h per cui il sottoinsieme $X_h$ è un sottospazio di $RR_4[x]$
Allora, per il primo punto devo trovare un insieme di polinomi linearmente indipendenti le cui combinazioni lineari mi diano tutto $X_3$. So che la forma generale di un elemento dello spazio è $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ e che in questo caso $p(1)=p(0)=0$. Ma come procedo a determinarne una base?
Grazie in anticipo...
Nello spazio $RR_4[x]$ dei polinomi di grado minore o uguale a quattro, si consideri il sottoinsieme
$X_h={p(x)inRR_4[x] | p(1)=0, p(0)=h(3-h)}$, con $h in RR.$
a) Si determini una base del sottospazio $X_3$ con $h=3$
b) Si completi la base trovata nel punto precedente a una base di $RR_4[x]$
c) Si determinino i valori di h per cui il sottoinsieme $X_h$ è un sottospazio di $RR_4[x]$
Allora, per il primo punto devo trovare un insieme di polinomi linearmente indipendenti le cui combinazioni lineari mi diano tutto $X_3$. So che la forma generale di un elemento dello spazio è $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ e che in questo caso $p(1)=p(0)=0$. Ma come procedo a determinarne una base?
Grazie in anticipo...
Risposte
Dunque: $(x-1)x$, $(x-1)x^2$ e $(x-1)x^3$ sono vettori di $X_0$ linearmente indipendenti.
Banalmente $Dim(R_4[x])=5$
Inoltre $1$ e $x$ sono vettori linearmente indipendenti di $RR_4[x]$ che non appartengono a $X_0$.
Quindi $Dim(X_0)=3$ (teorema di Grassman).
Per $b)$, tutti e 5 quei vettori messi insieme sono una base di $RR_4[x]$
Banalmente $Dim(R_4[x])=5$
Inoltre $1$ e $x$ sono vettori linearmente indipendenti di $RR_4[x]$ che non appartengono a $X_0$.
Quindi $Dim(X_0)=3$ (teorema di Grassman).
Per $b)$, tutti e 5 quei vettori messi insieme sono una base di $RR_4[x]$
a) Si ha l'isomorfismo canonico $RR_4[x] ~= RR^5$ (manda i coefficienti del polinomio negli elementi del vettore), quindi ci conviene lavorare in $RR^5$. Dunque $X_3 ~= S$ dove
$S: {(a+b+c+d=0),(e=0):}$
è il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $(1,0,0,-1,0)$, $(0,1,0,-1,0)$ e $(0,0,1,-1,0)$, che formano quindi una base essendo linearmente indipendenti per $S$, ora tornando $X_3$ con L'isomorfismo canonico abbiamo gli elementi di una base di $X_3$, cioè $x^4-x$, $x^3-x$ e $x^2-x$.
b) Basta ritornare su $RR^5$ completare la base trovata nel punto a) e "trasferirsi" di nuovo in $RR_5[x]$.
$S: {(a+b+c+d=0),(e=0):}$
è il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $(1,0,0,-1,0)$, $(0,1,0,-1,0)$ e $(0,0,1,-1,0)$, che formano quindi una base essendo linearmente indipendenti per $S$, ora tornando $X_3$ con L'isomorfismo canonico abbiamo gli elementi di una base di $X_3$, cioè $x^4-x$, $x^3-x$ e $x^2-x$.
b) Basta ritornare su $RR^5$ completare la base trovata nel punto a) e "trasferirsi" di nuovo in $RR_5[x]$.
Ciao a entrambi, e grazie mille per le risposte!
Ernesto ti chiedo scusa ma non mi è chiaro da dove tiri fuori $(x−1)x , (x−1)x^2 , (x−1)x^3$... e dan, (per lo stesso motivo credo) non capisco come fai a dire che S è generato dai vettori $(1,0,0,−1,0), (0,1,0,−1,0) , (0,0,1,−1,0)$!
So che deve essere semplice, ma come dice il mio nick sono un po' ottuso
Ernesto ti chiedo scusa ma non mi è chiaro da dove tiri fuori $(x−1)x , (x−1)x^2 , (x−1)x^3$... e dan, (per lo stesso motivo credo) non capisco come fai a dire che S è generato dai vettori $(1,0,0,−1,0), (0,1,0,−1,0) , (0,0,1,−1,0)$!
So che deve essere semplice, ma come dice il mio nick sono un po' ottuso
Per gli altri due punti: completare la base significa aggiungere dei vettori a quelli della base che mi permettono di generare $RR^5$ vero? Dunque in realtà mi basta aggiungere un elemento per generare il termine noto?
Per il punto c invece credo di esserci: affinché $X_h$ sia un sottospazio deve essere chiuso rispetto alla somma e quindi $h(h-3) + h(h-3)=h(h-3)$, cosa che si verifica solo se h vale 0 o 3. Corretto?
Per il punto c invece credo di esserci: affinché $X_h$ sia un sottospazio deve essere chiuso rispetto alla somma e quindi $h(h-3) + h(h-3)=h(h-3)$, cosa che si verifica solo se h vale 0 o 3. Corretto?
Beh se il polinomio verifica $P(0)=0$ e $P(1)=0$ è del tipo $(x-0)(x-1)Q(x)$ no? Ho preso dei $Q(x)$ banali in modo da rendere il tutto più facile. In realtà basta che i $Q(x)$ che prendi sono linearmente indipendenti.
Per la soluzione di Dan invece, lui ha preso dei vettori linearmente indipendente che soddisfano il sistema
Per la soluzione di Dan invece, lui ha preso dei vettori linearmente indipendente che soddisfano il sistema
Giusto, grazie mille.
"Obtusus":
Per gli altri due punti: completare la base significa aggiungere dei vettori a quelli della base che mi permettono di generare $RR^5$ vero? Dunque in realtà mi basta aggiungere un elemento per generare il termine noto?
Per il punto c invece credo di esserci: affinché $X_h$ sia un sottospazio deve essere chiuso rispetto alla somma e quindi $h(h-3) + h(h-3)=h(h-3)$, cosa che si verifica solo se h vale 0 o 3. Corretto?
No dato che $RR_4[X]$ ha dimensione $5$ ti servono 2 elementi linearmente indipendenti. Se leggi il primo post che ho fatto ho detto anche quali.
Si l'ultimo punto va bene invece
Ah ok, manca anche il termine di primo grado visto che non posso scriverlo in $X_h$ rispettando le condizioni.... ok, ora credo di esserci. Grazie!
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