Sottospazio di $R^3$

[FiorediLoto2]

Buongiorno

Ho questo piccolo esercizio e vorrei capire come si procede, vi sarei grata se mi aiutaste a capire:)

Esistono valori di $k in R$ tali che $W={0}$?

$W={(x,y,z) in R^3| 2y+z=0, (k-1)x-2ky+(k-2)z=0, (k^2-1)x-(1-k^2)z=0}$

Grazie!

[misanino]

"FiorediLoto":Buongiorno

Ho questo piccolo esercizio e vorrei capire come si procede, vi sarei grata se mi aiutaste a capire:)

Esistono valori di $k in R$ tali che $W={0}$?

$W={(x,y,z) in R^3| 2y+z=0, (k-1)x-2ky+(k-2)z=0, (k^2-1)x-(1-k^2)z=0}$

Grazie!

Dire $W={0}$ significa dire $W={(x,y,z) in R^3| x=y=z=0}$
Perciò, devi risolvere il sistema in k che ti viene dalla definizione di W che hai, dove al posto di x,y,z metti 0; e vedere se tale sistema ammette soluzioni

[FiorediLoto2]

grazie misanino per la risposta!
Ma se pongo x,y,z =0 mi viene tutto 0?!

[misanino]

"FiorediLoto":grazie misanino per la risposta!
Ma se pongo x,y,z =0 mi viene tutto 0?!

Ma prima devi scrivere esplicitamente il tuo sottospazio W.
Mi spiego:
hai $W={(x,y,z) in R^3| 2y+z=0, (k-1)x-2ky+(k-2)z=0, (k^2-1)x-(1-k^2)z=0}$
e quindi hai 3 equazioni.
Dalla prima ricavi $y=-z/2$
Guardiamo ora la terza. Se $(k^2-1)!=0$, cioè se $k!= +-1$ allora posso dividere per $(k^2-1)$ e ottengo $x=-z$
La seconda equazione diventa quindi $-(k-1)z+kz+kz-2z=kz-z=0$ cioè $(k-1)z=0$
Ora nel caso in cui ci siamo posti si ha $k!= +-1$ e quindi otteniamo $z=0$ e quindi $x=0$ e quindi $y=0$.
Quindi se $k!= +-1$ hai che $W=0$
Se invece k=1 allora....
se infine k=-1 allora...
Prova a completare tu.
Se hai problemi chiedi

[FiorediLoto2]

Ancora grazie per la risposta,
mi sfugge però qualcosa:
hai detto:

"misanino":
Ora nel caso in cui ci siamo posti si ha $k!= +-1$ e quindi otteniamo $z=0$

ma se $k!= +1$
come può $(k-1)z=0$ essere uguale a 0?
Grazie per il prezioso aiuto!

[misanino]

"FiorediLoto":Ancora grazie per la risposta,
mi sfugge però qualcosa:
hai detto:
[quote="misanino"]
Ora nel caso in cui ci siamo posti si ha $k!= +-1$ e quindi otteniamo $z=0$

ma se $k!= +1$
come può $(k-1)z=0$ essere uguale a 0?
Grazie per il prezioso aiuto![/quote]

E' proprio questo il punto!!
Se $k!= +1$ in particolare $(k-1)!=0$ e quindi affinchè $(k-1)z$ sia uguale a 0 deve essere $z=0$

[FiorediLoto2]

Quindi il valore di k affinchè $W={0}$
deve essere $k=1$ ed è questo l'unico valore trovato! Ho capito bene?

[misanino]

"FiorediLoto":Quindi il valore di k affinchè $W={0}$
deve essere $k=1$ ed è questo l'unico valore trovato! Ho capito bene?

No!!!
Mi spiace dirlo, ma non hai capito nulla.
Ti ho appena mosrato (rileggi bene il post che ti ho scritto) che se $k!= +-1$ allora $W={0}$!!!!