Sottospazio di R^3
Ciao, vi inoltro un esercizio datomi dal professore di topologia in cui sto trovando alcune difficoltà: definiti
$\Pi_j={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z=j}$ e $Z={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z\in(-1,1), x=y=5}$ (che dovrebbe essere un segmento verticale) viene dato lo spazio $X\subset \mathbb{R}^3$ che è dato da quest'unione
$X={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2<1}\cup Z \cup \Pi_1 \cup \Pi_-1 \cup (\cup_{n\in\mathbb{N}, n\ne 0} \Pi_{1+1/n})$
Ho dimostrato che X non è connesso e che $\pi_0(X)$ ha un'infinità numerabile di componenti, mi chiede ora di determinare l'insieme dei punti che hanno un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi e di calcolare $\pi_1(X,x_0)$ in funzione di $x_0$.
Per quanto riguarda la prima richiesta, se non erro, i punti interni alla sfera o al segmento non "vicini" ai piani $z=\pm1$ dovrebbero avere questo sistema, analogamente a quelli sui piani dell'unione numerabile, non riesco però a capire come comportarmi con i punti restanti. Anche per la seconda domanda, il mio problema è praticamente lo stesso, quindi ne deduco di non avere chiarissimo come comportarmi con una figura fatta in questa maniera.
Mi scuso per la lunghezza del messaggio e ringrazio anticipatamente chi vorrà rispondermi
$\Pi_j={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z=j}$ e $Z={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z\in(-1,1), x=y=5}$ (che dovrebbe essere un segmento verticale) viene dato lo spazio $X\subset \mathbb{R}^3$ che è dato da quest'unione
$X={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2<1}\cup Z \cup \Pi_1 \cup \Pi_-1 \cup (\cup_{n\in\mathbb{N}, n\ne 0} \Pi_{1+1/n})$
Ho dimostrato che X non è connesso e che $\pi_0(X)$ ha un'infinità numerabile di componenti, mi chiede ora di determinare l'insieme dei punti che hanno un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi e di calcolare $\pi_1(X,x_0)$ in funzione di $x_0$.
Per quanto riguarda la prima richiesta, se non erro, i punti interni alla sfera o al segmento non "vicini" ai piani $z=\pm1$ dovrebbero avere questo sistema, analogamente a quelli sui piani dell'unione numerabile, non riesco però a capire come comportarmi con i punti restanti. Anche per la seconda domanda, il mio problema è praticamente lo stesso, quindi ne deduco di non avere chiarissimo come comportarmi con una figura fatta in questa maniera.
Mi scuso per la lunghezza del messaggio e ringrazio anticipatamente chi vorrà rispondermi
Risposte
"Lysithe4":
Mi chiede ora di determinare l'insieme dei punti che hanno un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi e di calcolare $\pi_1(X,x_0)$ in funzione di $x_0$.
Chiamiamo $B^3={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2<1}$ mentre $B_{epsilon)^3($ $(x_0,y_0,z_0))={(x,y,z)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2
Il gruppo fondamentale basta che ragioni per componenti connesse per archi:
(1) Sui singoli piani $\Pi_{1+1/n)$ $AAninNN,n!=0$ il gruppo fondamentale è banale poichè sono convessi.
(2) Sull'insieme $K=B^3uuZuu\Pi_1uu\Pi_(-1)$ vedi un po se con qualche equivalenza omotopica riesci a mostrare che è banale (oppure col teorema di van Kampen)
Penso di avere qualcosa di non chiaro nella tua risposta: il mio professore ha definito uno spazio X semplicemente connesso come uno spazio connesso per archi il cui $\pi_1$ sia banale.
Sono d'accordo sul fatto che le componenti connesse per archi di tali intorni siano semplicemente connesse per ovvie ragioni, però allora non capisco come anche l'intorno, che ha più di una componente connessa per archi (seppure ognuna abbia $\pi_1$ banale), possa essere definito semplicemente connesso.
Sono d'accordo sul fatto che le componenti connesse per archi di tali intorni siano semplicemente connesse per ovvie ragioni, però allora non capisco come anche l'intorno, che ha più di una componente connessa per archi (seppure ognuna abbia $\pi_1$ banale), possa essere definito semplicemente connesso.
"Lysithe4":
Penso di avere qualcosa di non chiaro nella tua risposta: il mio professore ha definito uno spazio X semplicemente connesso come uno spazio connesso per archi il cui $\pi_1$ sia banale.
Sono d'accordo sul fatto che le componenti connesse per archi di tali intorni siano semplicemente connesse per ovvie ragioni, però allora non capisco come anche l'intorno, che ha più di una componente connessa per archi (seppure ognuna abbia $\pi_1$ banale), possa essere definito semplicemente connesso.
Ok allora direi che su $\Pi_1$ non esiste un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi poichè non è connesso per archi, mentre per $(0,0,-1)$ e $(5,5,-1)$ esiste un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi
"andreadel1988":
(2) Sull'insieme $K=B^3uuZuu\Pi_1uu\Pi_(-1)$ vedi un po se con qualche equivalenza omotopica riesci a mostrare che è banale (oppure col teorema di van Kampen)
Ora che ho avuto più tempo per pensarci ti do un suggerimento: prova a retrarre $B^3$ sul segmento [tex]\ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,-1),(0,0,1) ]\hspace{-1mm}\!\ ][/tex] e poi retrai $\Pi_1$ sul segmento [tex]\ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,1),(5,5,1) ]\hspace{-1mm}\!\ ][/tex] e retrai $\Pi_(-1)$ sul segmento [tex]\ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,-1),(5,5,-1) ]\hspace{-1mm}\!\ ][/tex], cosa ti esce?
Spoiler sulle retrazioni da fare: