Sottospazio di $R^3$

[mobley]

Apparentemente banale come esercizio ma ho paura di sbagliare nella formalizzazione matematica (e non solo).

L'esercizio è il seguente:
Determina il sottospazio $S$ di $R^3$ generato dai vettori $bar(u)=[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) ]$ , $bar(v)=[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 0 ) ]$ e $bar(w)=[ ( 3 ) , ( 6 ) , ( 2 ) ]$.
Quindi calcola una base di $S$.


1. Il sottospazio vettoriale di $R^3$ è:

$S={bar(y) in R^3 : bar(y)=alphabar(u)+betabar(v)+gammabar(w), alpha,beta,gamma in R}={bar(y) in R^3 : bar(y)=alpha[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) ]+beta[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 0 ) ]+gamma[ ( 3 ) , ( 6 ) , ( 2 ) ]}$

2. La base è

$S(bar(y))={bar(y) in R^3 : bar(y)=alpha[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) ]+beta[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 0 ) ]}$

dato che

$ A=[ ( 1 , 1 , 3 ),( 2 , 2 , 6 ),( 1 , 0 , 2 ) ] [ ( alpha ) , ( beta ) , (gamma ) ]=[ ( 0 ) , ( 0 ) , ( 0 ) ]->det| ( 2 , 2 ),( 1 , 0 ) | !=0->R(A)=2 $

E' giusto? Se sì, sono corrette le scritture matematiche?

[Ernesto011]

Il primo non è sbagliato, anche se potresti far di meglio,per esempio togliendo il terzo vettore dato che é lin. Dipendente con gli altri 2.

Il secondo é sbagliato, una base è un insieme minimo di vettori lin. Ind. Che generano lo spazio vettoriale. Se li metti tutti, sicuramente qualcosa non va.

Per il determinante, immagino tu voglia trovare la dimensione dello spazio, ma dovresti prima escludere il caso del $rk=3$

[debez]

Anche la base mi sembra corretta. Nella giustificazione devi però aggiungere che $det((1,1,3),(2,2,6),(1,0,2)) = 0$

[mobley]

Veramente non li ho messi tutti come ben puoi vedere ma solo quelli per cui il rango di $A$ è massimo e $!=0$.
Inoltre:
- il calcolo della dimensione dello spazio non è richiesto dall'esercizio
- ho già escluso la possibilità che fosse rango $3$ altrimenti la base sarebbe stata (sì, in quel caso) formata da tutti i vettori dello spazio

Io volevo solo sapere se era corretta la formalizzazione matematica

[mobley]

Grazie a tutti!

[Ernesto011]

Non so quale corso di laurea stai frequentando, ma confondere lo spazio generato da vettori con la base non è una cosa su cui i docenti di solito passano su facilmente.
La base è sbagliata, nel senso che la base è $B={v_1,v_2}$ dove $v_1$ e $v_2$ sono per esempio il primo e il secondo vettore.
Sono d'accordo però sul fatto che lo spazio generato dalla base è quello che hai descritto tu nel punto 2. (Che poi è lo stesso spazio da te descritto nel punto 1 in realtà).

[mobley]

Ok. Dunque come scriveresti, formalmente, la base formata dai vettori $[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) ]$ e $[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 0 ) ]$?

In ogni caso, solo così per informazione: andando a ricevimento dal docente mi ha esplicitamente detto che la base di un autospazio si scrive come $S(lambda)={bar(x) in R^3 : bar(x)=l[ ( a ) , ( b ) , ( c ) ], l in R}$.