Sottospazio di polinomi a variabile reale
Ciao a tutti.
Innanzitutto scusatemi per tutti gli esercizi che chiedo in questi giorni, ma l'esame si avvicina...
Mi potreste dare una mano?
ESERCIZIO:
Sia $V= RR_2 [t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi di una variabile reale di grado minore od uguale a due. Si consideri il sottoinsieme
$W = {p(t) in V | p(0) = 0 }.
a) Dimostrare che W è un sottospazio e trovarne dimensione e una base.
(Poi ci sarebbero altri punti, ma non li posto nemmeno perchè, essendo bloccata qui non posso proseguire, e dunque non li ho ancora guardati...perciò sarebbe inutile chiedere un aiuto per quelli.)
RISOLUZIONE
Per quanto riguarda la dimostrazione che W è sottospaziodi V no problem, basta applicare la definizione di sottospazio.
Il mio problema sono dimensione e base.
Cioè: io so che $dim(V)=3$, perchè è lo spazio dei polinomi di grado al massimo due.
Quindi ogni sottospazio avrà dimensione $<=3$.
Ma come faccio a sapere se è 1, 2 o 3? E come trovo la base?
Grazie infinite.
_L_
Innanzitutto scusatemi per tutti gli esercizi che chiedo in questi giorni, ma l'esame si avvicina...
Mi potreste dare una mano?
ESERCIZIO:
Sia $V= RR_2 [t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi di una variabile reale di grado minore od uguale a due. Si consideri il sottoinsieme
$W = {p(t) in V | p(0) = 0 }.
a) Dimostrare che W è un sottospazio e trovarne dimensione e una base.
(Poi ci sarebbero altri punti, ma non li posto nemmeno perchè, essendo bloccata qui non posso proseguire, e dunque non li ho ancora guardati...perciò sarebbe inutile chiedere un aiuto per quelli.)
RISOLUZIONE
Per quanto riguarda la dimostrazione che W è sottospaziodi V no problem, basta applicare la definizione di sottospazio.
Il mio problema sono dimensione e base.
Cioè: io so che $dim(V)=3$, perchè è lo spazio dei polinomi di grado al massimo due.
Quindi ogni sottospazio avrà dimensione $<=3$.
Ma come faccio a sapere se è 1, 2 o 3? E come trovo la base?
Grazie infinite.
_L_
Risposte
Un generico elemento di $RR_2[t]$ è $p(t)=a+bt+ct^2$.
Qual è la condizione su $a,b,c$ affinchè il generico elemento di $RR_2[t]$ sia in $W$?
Come sono fatti quindi gli elementi di $W$?
Qual è la condizione su $a,b,c$ affinchè il generico elemento di $RR_2[t]$ sia in $W$?
Come sono fatti quindi gli elementi di $W$?
Innanzitutto grazie per la risposta. 
Dunque...la condizione è che p(0) = 0
Quindi devo porre tutte le t=0 in $a + bt + ct^2=0$ ?
E ottengo a=0...
Perciò (azzardo) tutti i polinomi di W saranno del tipo $p(t)=bt + ct^2$...giusto?
Allora la base potrebbe essere
$B = {t, t^2}$, da cui la dimensione è 2.
Ma è giusto dedurre la dimensione dalla base? O in teoria lo dovrei capire prima qual è la dimensione?
Ciao e grazie ( e scusa l'ignoranza)
Edit: c'era una formula sbagliata
"cirasa":
Un generico elemento di $RR_2[t]$ è $p(t)=a+bt+ct^2$.
Qual è la condizione su $a,b,c$ affinchè il generico elemento di $RR_2[t]$ sia in $W$?
Come sono fatti quindi gli elementi di $W$?
Dunque...la condizione è che p(0) = 0
Quindi devo porre tutte le t=0 in $a + bt + ct^2=0$ ?
E ottengo a=0...
Perciò (azzardo) tutti i polinomi di W saranno del tipo $p(t)=bt + ct^2$...giusto?
Allora la base potrebbe essere
$B = {t, t^2}$, da cui la dimensione è 2.
Ma è giusto dedurre la dimensione dalla base? O in teoria lo dovrei capire prima qual è la dimensione?
Ciao e grazie ( e scusa l'ignoranza)
Edit: c'era una formula sbagliata
"lewis":
Dunque...la condizione è che p(0) = 0
Quindi devo porre tutte le t=0 in $a + bt + ct^2=0$ ?
E ottengo a=0...
Perciò (azzardo) tutti i polinomi di W saranno del tipo $p(t)=bt + ct^2$...giusto?
Giusto.
"lewis":
Allora la base potrebbe essere
$B = {t, t^2}$, da cui la dimensione è 2.
Se non sei sicuro che $B$ sia base, dimostralo:
Per quanto hai detto precedentemente gli elementi di $B$ generano il sottospazio $W$.
Sono linearmente indipendenti (è facile dimostrarlo). Quindi formano una base.
Poi una piccola imprecisione: non "la base ...". ma "una base". Non c'è una sola base...
"lewis":
Ma è giusto dedurre la dimensione dalla base?
Non solo è giusto, ma è addirittura la definizione di dimensione!
La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori di una base. Se hai una base, conti i suoi vettori e ottieni la dimensione.
"cirasa":
Se non sei sicuro che $B$ sia base, dimostralo:
Per quanto hai detto precedentemente gli elementi di $B$ generano il sottospazio $W$.
Sono linearmente indipendenti (è facile dimostrarlo). Quindi formano una base.
Ok fatto...in effetti è proprio una base.
"cirasa":
Poi una piccola imprecisione: non "la base ...". ma "una base". Non c'è una sola base...
Mi è sfuggito Senti...magari mi mandi (mandate) al diavolo...ma posso provare a postare anche i punti successivi e i miei tentativi di risoluzione?
Perchè ho qualche difficoltà e in ogni caso non sono mai sicura che ciò che faccio sia corretto..
Se però ritenete che per oggi abbia già abusato della vostra pazienza fa niente!!
Grazie ancora per la risposta.
Ciao
Posta pure gli altri punti e i tuoi tentativi di risoluzione.
Io fra un po' devo andar via e non potrò leggere il tuo post, ma probabilmente troverai qualche utente di buona volontà che ti aiuterà.
Se non lo troverai, domani, se avrò tempo, proverò io a dare un'occhiata.
Io fra un po' devo andar via e non potrò leggere il tuo post, ma probabilmente troverai qualche utente di buona volontà che ti aiuterà.
Se non lo troverai, domani, se avrò tempo, proverò io a dare un'occhiata.
"cirasa":
Posta pure gli altri punti e i tuoi tentativi di risoluzione.
Io fra un po' devo andar via e non potrò leggere il tuo post, ma probabilmente troverai qualche utente di buona volontà che ti aiuterà.
Se non lo troverai, domani, se avrò tempo, proverò io a dare un'occhiata.
Grazie mille...mi stai aiutando davvero tanto, e te ne sono grata.
b) Dimostrare che l’applicazione $g: VxV rarr RR$ definita da
$g(q,p) = q(0)p(0) + q(1)p(1)$
è un prodotto scalare.
c) Trovare la dimensione e una base di $W^(bot)$, complemento ortogonale di W rispetto al prodotto scalare sopra definito.
d) Trovare la dimensione e una base di $W nn W^(bot)$
e) Trovare la dimensione e una base di $W + W^(bot)$.
RISOLUZIONE
b) è semplice, applico la definizione di prodotto scalare.
c) Dunque...io devo trovare un insieme di polinomi $q in V$ (ma $qnotinW$) tali che
g(p,q)= 0, con $p in W$.
Quindi pongo
$p(t)= bt + ct^2$
$q(t) = f + g t + ht^2$
e ne calcolo il prodotto scalare sopra definito:
$g(p,t) = (b + c) (f + g + h)= 0$
Da ciò deduco che, poichè la relazione deve valere per qualsiasi p, allora $f + g + h = 0$, giusto?
Quindi potrei scrivere per esempio h in funzione di f e g, e quindi la base avrebbe dim=2 e sarebbe
$B={1 - t^2, t-t^2}$
Edit: nel frattempo ho fatto lo stesso i punti d ed e (sperando che il c sia giusto!!).
d) Dunque, perchè un polinomio appartenga a $W nn W^(bot)$ devono valere tutte le seguenti condizioni;
a= 0
a = - b - c
da cui ricavo il polinomio $p(t)= bt - bt ^2$.
La base ha perciò dimensione 1 ed è $B_(W nn W^(bot)) = {t - t^2}$
e) per il teorema di Grassmann
$dim (W+W^(bot)) = dim(W) + dim(W^(bot)) - dim(W nn W^(bot))= 2 + 2 - 1 = 3$
La dimensione di $W+W^(bot)$ è uguale alla dimensione di $RR_2 [t]$ perciò posso scegliere come base di $W+W^(bot)$ la base canonica dello spzio vettoriale:
$B = {1,t,t^2}$
Immagino che avrò commesso una lunga serie di errori imperdonabili...me ne scuso in partenza
ciao ciao!!
Posso farti una domanda?
Ma per te che cos'è un prodotto scalare $g$ su uno spazio vettoriale $V$ reale?
Te lo chiedo perchè ho sempre saputo che si tratta di una forma bilineare simmetrica definita positiva.
"Definita positiva" significa che $g(v,v)\ge 0$ per ogni $v\in V$ e $g(v,v)=0$ se e solo se $v=0$.
Nel tuo caso l'applicazione $g:RR_2[t]\times RR_2[t]\to RR$ non è definita positiva perchè per esempio $p(t)=t-t^2$ è non nullo ma
$g(p,p)=p(0)p(0)+p(1)p(1)=0$.
Secondo me, per te un prodotto scalare è solo una forma bilineare simmetrica.
Se è così, la tua risoluzione è ok.
Ti faccio solo notare una piccola cosa per il futuro.
Per la risoluzione di esercizi simili al punto c) ti consiglio di usare la seguente proposizione:
Quindi un polinomio generico $q(t)=a+b t+ct^2$ appartiene a $W^{bot}$ se e solo se
$g(t,q(t))=0$ e $g(t^2,q(t))=0$
Ottieni un sistema omogeneo di 2 equazioni (risp. nelle ipotesi della proposizione precedente $k$ equazioni) in 3 incognite ($n$ incognite).
Risolvendo il sistema si ottengono le condizioni che determinano $W^{bot}$.
Facendo così nel tuo esercizio, dovresti riottenere le condizioni che hai determinato prima.
Ma per te che cos'è un prodotto scalare $g$ su uno spazio vettoriale $V$ reale?
Te lo chiedo perchè ho sempre saputo che si tratta di una forma bilineare simmetrica definita positiva.
"Definita positiva" significa che $g(v,v)\ge 0$ per ogni $v\in V$ e $g(v,v)=0$ se e solo se $v=0$.
Nel tuo caso l'applicazione $g:RR_2[t]\times RR_2[t]\to RR$ non è definita positiva perchè per esempio $p(t)=t-t^2$ è non nullo ma
$g(p,p)=p(0)p(0)+p(1)p(1)=0$.
Secondo me, per te un prodotto scalare è solo una forma bilineare simmetrica.
Se è così, la tua risoluzione è ok.
Ti faccio solo notare una piccola cosa per il futuro.
Per la risoluzione di esercizi simili al punto c) ti consiglio di usare la seguente proposizione:
Sia $W$ un sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione $n$ munito di prodotto scalare $g$.
Sia $w_1,...,w_k$ una base di $W$ e $v\in V$.
Allora $v\in W^{bot}$ se e solo se $g(w_i,v)=0$ per ogni $i=1,...,k$.
Quindi un polinomio generico $q(t)=a+b t+ct^2$ appartiene a $W^{bot}$ se e solo se
$g(t,q(t))=0$ e $g(t^2,q(t))=0$
Ottieni un sistema omogeneo di 2 equazioni (risp. nelle ipotesi della proposizione precedente $k$ equazioni) in 3 incognite ($n$ incognite).
Risolvendo il sistema si ottengono le condizioni che determinano $W^{bot}$.
Facendo così nel tuo esercizio, dovresti riottenere le condizioni che hai determinato prima.
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