Sottospazio delle matrici con lo stesso autovettore

[blackdie]

Fissato $bar v in RR$.Sia $V={A in M_n (RR):EE lambda in RR per cui A*bar v=lambda*bar v }$.V è sottospazio vettoriale?Qual è la sua dimensione?

[Zkeggia]

Innanzitutto non sono le matrici con lo stesso autovalore, ma quelle con lo stesso autovettore (quelle con lo stesso autovalore, a meno che non sia 0, non sono manco spazio vettoriale .
V è uno spazio vettoriale (fai un semplice controllo: è chiuso per somma e per prodotto di scalari, lo 0 c'è)
sulla dimensione ho pensato che potesse essere così:
ogni matrice è rappresentazione di una funzione da $n -> n$, quindi possiamo passare a questo spazio, in cuifissiamo una base che contenga il vettore scelto, per semplicità supponiamola con questo vettore al primo posto.
la matrice associata a questa funzione sarà del tipo:

$M = ((lambda,*,*,*), (0,*,*,*), (0,*,*,*), (0,*,*,*))$
A questo punto devi lavorare nella ricerca di una base di questo spazio vettoriale, e, calcolandone la dimensione hai la risposta che cerchi, prova, vedrai che non è difficile.

[blackdie]

Uh che lapsus quello dell'autovettore.Per caso la dimensione alla fine e' $n*(n-1)+1$?Anche se non sono molto convnto di questo risultato

[Zkeggia]

sì anche a me torna così, se prendo una matrice del tipo che abbiamo detto e la scompongo in matrici indipendenti me ne vengono fuori proprio $n(n-1) +1$, che poi è l'area del rettangolo su cui non hai controllo, più 1 che è la colonna che hai fissata sicuramente.