Sottospazio complementare
Sia $ cc(R)^{3} [x] $ lo spazio dei polinomi a coefficenti reali di grado <= 3 ed U={ $ f(x) in $ $cc(R)^{3} [x] $ : f(1)=0,f(0)=f(-1)} e un sottospazio di $cc(R)^{3} [x] $.
a) Determinare una base e una dimensione
b) $ x - x^{3} in W $ ? In caso affermativo determinare le coordinate rispetto alla base trovata.
c) Determinare un sottospazio complementare di W.
Per quanto riguarda il punto a, non ho alcun problema, infatti ottengo che Base di U = {(-2+x+$x^{2}$),(-x+$x^{3}$)} e quindi dim U = 2. Il mio problema sta nel punto b e c.
Vi dico subito che probabilmente la prof. ha sbagliato a battere l'esercizio quindi quel W in realtà è U.
Aspetto vostre notizie
spero qualcuno possa aiutarmi
a) Determinare una base e una dimensione
b) $ x - x^{3} in W $ ? In caso affermativo determinare le coordinate rispetto alla base trovata.
c) Determinare un sottospazio complementare di W.
Per quanto riguarda il punto a, non ho alcun problema, infatti ottengo che Base di U = {(-2+x+$x^{2}$),(-x+$x^{3}$)} e quindi dim U = 2. Il mio problema sta nel punto b e c.
Vi dico subito che probabilmente la prof. ha sbagliato a battere l'esercizio quindi quel W in realtà è U.
Aspetto vostre notizie
spero qualcuno possa aiutarmi
Risposte
Non ho controllato i calcoli. Se quelli rappresentano una base, allora sfruttando la definizione esisteranno due coefficienti $a,binRR$ tali che $a(-2+x+x^2)+b(-x+x^3)=x-x^3$ se tale identità è soddisfatta, allora hai effettivamente che quel polinomio vi appartiene.
Oppure in maniera meno "contosa" puoi osservare preliminarmente che certamente tali componenti esistono poichè soddisfa le equazioni del sottospazio, ancora meglio osservando che compare già tra i vettori di base, prendendo $a=0,b=-1$.
Quanto al complementare basta prendere un vettore (magari dalla base canonica) linearmente indipendente rispetto agli altri ed hai finito.
Oppure in maniera meno "contosa" puoi osservare preliminarmente che certamente tali componenti esistono poichè soddisfa le equazioni del sottospazio, ancora meglio osservando che compare già tra i vettori di base, prendendo $a=0,b=-1$.
Quanto al complementare basta prendere un vettore (magari dalla base canonica) linearmente indipendente rispetto agli altri ed hai finito.
[mod="Alexp"]
"sal1989", cortesemente dovresti cambiare titolo al thread con qualcosa di più inerente al contesto dell'esercizio.
Grazie per la collaborazione!
Alexp
[/mod]
"sal1989", cortesemente dovresti cambiare titolo al thread con qualcosa di più inerente al contesto dell'esercizio.
Grazie per la collaborazione!
Alexp
[/mod]
"mistake89":
Non ho controllato i calcoli. Se quelli rappresentano una base, allora sfruttando la definizione esisteranno due coefficienti $a,binRR$ tali che $a(-2+x+x^2)+b(-x+x^3)=x-x^3$ se tale identità è soddisfatta, allora hai effettivamente che quel polinomio vi appartiene.
Oppure in maniera meno "contosa" puoi osservare preliminarmente che certamente tali componenti esistono poichè soddisfa le equazioni del sottospazio, ancora meglio osservando che compare già tra i vettori di base, prendendo $a=0,b=-1$.
Quanto al complementare basta prendere un vettore (magari dalla base canonica) linearmente indipendente rispetto agli altri ed hai finito.
Grazie mille mistake89 sei stato estremamente chiaro, solo un altra cosa per togliermi ogni dubbio, sapresti in qualche modo spiegarmi cos'è un sottospazio complementare, come calcolarlo...in modo da porter fare altri esercizi..? Ti ringrazio moltissimo anticipatamente...
Per queste domande magari sarebbe più semplice (e preciso) guardare un qualsiasi libro di testo.
Sia $V$ un sottospazio vettoriale, $U,W$ due suoi sottospazi. Diremo che essi sono supplementari (o come dici tu complementari) se e solo se $V=UoplusW$.
Esiste un teorema nel quale, considerato uno spazio vettoriale $V$ ed un suo arbitrario sottospazio $U$, si afferma che esiste sempre almeno un supplementare di $U$ in $V$
Sia $V$ un sottospazio vettoriale, $U,W$ due suoi sottospazi. Diremo che essi sono supplementari (o come dici tu complementari) se e solo se $V=UoplusW$.
Esiste un teorema nel quale, considerato uno spazio vettoriale $V$ ed un suo arbitrario sottospazio $U$, si afferma che esiste sempre almeno un supplementare di $U$ in $V$
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