Sottospazio affine Euclideo (topologia)
Dato uno spazio affine Euclideo $E$ (modellato sullo spazio vettoriale $F$) un sottoinsieme non vuoto $A ⊂E$ è detto sottospazio affine di $E$ , se è l'orbita di un punto $p_0inE$ sotto l'azione affine del sottospazio vettoriale n-dimensionale
$B⊂ F$
$A = p_0 + B := {p_0 + v}_{v∈B}$
($p_0 ∈ A$ and $A = p + B$ $ AA p ∈ A$ ).
Un sottoinsieme non vuoto $A ⊂ E$ eredita la struttura di spazio affine modellato
sul sottospazio vettoriale $B ⊂ F$ se e solo se $A = p_0 + A$ con $p_0∈ E $
(Questo perchè la restrizione di $+|{AxB}:AxB->A:(p,v)->p+v=p_0+v+v$ dove ${v+v}inB$ ?)
In $A$, inteso sia come spazio affine Euclideo a sè sia come sottospazio topologico di $E$,
la topologia Euclidea coincide con la topologia di sottospazio.
NOTA: ogni sfera aperta $B_p^rsuba$ è data da $B_p^r=b_p^rnnA$ con $b_p^rnnE$, $b_p^r$ sfera aperta di $E$
Come si dimostra?
Vediamo se almeno i concetti mi sono chiari:
La topologia Euclidea è quella che considera come insiemi aperti le sfere aperte e tutti i sottoinsiemi ottenuti come unione di sfere aperte, e l'insieme vuoto. Con $tau_E$ si indica la topologia Euclidea che sarebbe la collezione di tutti gli insiemi aperti,
che soddisfa 3 proprietà :
-$varphi,E in T_E$
-l'unione numerabile di aperti è un aperto,
-l'intersezione finita di aperti è un aperto.
$E$ equipaggiato con $tau_E$ è uno spazio topologico.
La topologia di sottospazio è la collezione di sottoinsiemi $tau_A={AnnU}_{U in tau_E}$, è la struttura topologica che $A$ eredita da $E$.
$B⊂ F$
$A = p_0 + B := {p_0 + v}_{v∈B}$
($p_0 ∈ A$ and $A = p + B$ $ AA p ∈ A$ ).
Un sottoinsieme non vuoto $A ⊂ E$ eredita la struttura di spazio affine modellato
sul sottospazio vettoriale $B ⊂ F$ se e solo se $A = p_0 + A$ con $p_0∈ E $
(Questo perchè la restrizione di $+|{AxB}:AxB->A:(p,v)->p+v=p_0+v+v$ dove ${v+v}inB$ ?)
In $A$, inteso sia come spazio affine Euclideo a sè sia come sottospazio topologico di $E$,
la topologia Euclidea coincide con la topologia di sottospazio.
NOTA: ogni sfera aperta $B_p^rsuba$ è data da $B_p^r=b_p^rnnA$ con $b_p^rnnE$, $b_p^r$ sfera aperta di $E$
Come si dimostra?
Vediamo se almeno i concetti mi sono chiari:
La topologia Euclidea è quella che considera come insiemi aperti le sfere aperte e tutti i sottoinsiemi ottenuti come unione di sfere aperte, e l'insieme vuoto. Con $tau_E$ si indica la topologia Euclidea che sarebbe la collezione di tutti gli insiemi aperti,
che soddisfa 3 proprietà :
-$varphi,E in T_E$
-l'unione numerabile di aperti è un aperto,
-l'intersezione finita di aperti è un aperto.
$E$ equipaggiato con $tau_E$ è uno spazio topologico.
La topologia di sottospazio è la collezione di sottoinsiemi $tau_A={AnnU}_{U in tau_E}$, è la struttura topologica che $A$ eredita da $E$.
Risposte
uppino
Nessun input per la dimostrazione?
O almeno qualcuno che controlli che non ho detto tutte baggianate?
O almeno qualcuno che controlli che non ho detto tutte baggianate?
Ci riprovo, per l'ultima volta T_T
Ok, è questa l'ultima volta.
Riepilogando:
Dato uno spazio affine Euclideo E:
La topologia Euclidea è quella che considera come insiemi aperti le sfere aperte e tutti i sottoinsiemi ottenuti come unione di sfere aperte, e l'insieme vuoto.
Con $tau_E$ si indica la topologia Euclidea che sarebbe la collezione di tutti gli insiemi aperti,
che soddisfa 3 proprietà :
-$varphi,E in T_E$
-l'unione numerabile di aperti è un aperto,
-l'intersezione finita di aperti è un aperto.
$E$ equipaggiato con $tau_E$ è uno spazio topologico.
La topologia di sottospazio è la collezione di sottoinsiemi $tau_A={AnnU}_{U in tau_E}$, è la struttura topologica che $A$ eredita da $E$.
Dato $AsubE$ sottospazio affine Euclideo devo dimostrare che la topologia Euclidea e quella di sottospazio coincidono.
$B_p^rsuba$ è data da $B_p^r=b_p^rnnA$ con $b_p^rnnE$, $b_p^r$ sfera aperta di $E$
- $varphi,Ain T_A$
perchè $varphi=Ann varphi$ , $A=AnnE$ con $E,varphi$ aperti di $T_E$
-$U_nB_p^{r_n}=U_n(b_p^{r_n}nnA)=(U_nb_p^{r_n})nnA$
-$B_{p_1}^{r_1} , B_{p^2}^r in T_A$
$B_{p_1}^{r_1} = b_{p_1}^{r_1} nnA$
$ B_{p_2}^{r_2} = b_{p_2}^{r_2}nnA$
$B_{p_1}^{r_1}nnB_{p_2}^{r_2} =(b_{p_1}^{r_1} nnA)nn(b_{p_2}^{r_2} nnA)=(b_{p_1}^{r_1} nn b_{p_2}^{r_2})nnA$
Riepilogando:
Dato uno spazio affine Euclideo E:
La topologia Euclidea è quella che considera come insiemi aperti le sfere aperte e tutti i sottoinsiemi ottenuti come unione di sfere aperte, e l'insieme vuoto.
Con $tau_E$ si indica la topologia Euclidea che sarebbe la collezione di tutti gli insiemi aperti,
che soddisfa 3 proprietà :
-$varphi,E in T_E$
-l'unione numerabile di aperti è un aperto,
-l'intersezione finita di aperti è un aperto.
$E$ equipaggiato con $tau_E$ è uno spazio topologico.
La topologia di sottospazio è la collezione di sottoinsiemi $tau_A={AnnU}_{U in tau_E}$, è la struttura topologica che $A$ eredita da $E$.
Dato $AsubE$ sottospazio affine Euclideo devo dimostrare che la topologia Euclidea e quella di sottospazio coincidono.
$B_p^rsuba$ è data da $B_p^r=b_p^rnnA$ con $b_p^rnnE$, $b_p^r$ sfera aperta di $E$
- $varphi,Ain T_A$
perchè $varphi=Ann varphi$ , $A=AnnE$ con $E,varphi$ aperti di $T_E$
-$U_nB_p^{r_n}=U_n(b_p^{r_n}nnA)=(U_nb_p^{r_n})nnA$
-$B_{p_1}^{r_1} , B_{p^2}^r in T_A$
$B_{p_1}^{r_1} = b_{p_1}^{r_1} nnA$
$ B_{p_2}^{r_2} = b_{p_2}^{r_2}nnA$
$B_{p_1}^{r_1}nnB_{p_2}^{r_2} =(b_{p_1}^{r_1} nnA)nn(b_{p_2}^{r_2} nnA)=(b_{p_1}^{r_1} nn b_{p_2}^{r_2})nnA$
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