Sottospazio

[maria601]

Dato il sistema omogeneo (x−3y+z=0),(2x+y−3z=0),(3x−2y−2z=0),(7y−5z=0), ho trovato che una soluzione è x=(-22/7)z,y=(-
5/7) z,z=z, per dimostrare che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio ho dimostrato che c'è stabilità rispetto alla somma e al prodotto,cioè la somma di due soluzioni è dello stesso tipo ecc, La dimensione è data da n-r, numero delle incognite meno il rango, nel nostro caso 3-1?

[DavideGenova1]

"maria60":per dimostrare che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio ho dimostrato che c'è stabilità rispetto alla somma e al prodotto

Questo vale, come certamente sai, per qualunque sistema omogeneo.

"maria60":La dimensione è data da n-r, numero delle incognite meno il rango, nel nostro caso 3-1?

Esattamente, ed è lo stesso di dire che il sistema ha $n-r$ variabili libere.

Numericamente parlando a me la soluzione viene diversa, ma posso sbagliare io, che, per eliminazione gaussiana sulla matrice dei coefficienti trovo
\(\begin{pmatrix}1&-3&1\\2&1&-3\\3&-2&-2\\0&7&-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\mathbf{0} \iff \begin{pmatrix}1&-3&1\\0&7&-5\\0&7&-5\\0&7&-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\mathbf{0}\) e sottraendo ancora la seconda riga da quelle sottostanti, che si annullano, trovo che \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}\frac{8}{7}\\\frac{5}{7}\\1\end{pmatrix}\).
Ciao!

[raker]

Pure io avrei fatto come davidegenova...
Tra l'altro tornebbe anche perchè il rango viene 2, quindi n-r -> 3-2 = 1 variabile libera che appunto è Z.
Invece a te maria da quello che ho capito il rango torna 1 e quindi ti verrebbero 2 variabili libere in contrasto pure con la tua soluzione.

p.s. non prendere le mie parole come giuste perchè ho appena cominciato a fare esercizi

[Seneca1]

@ maria60: Ti ricordo che l'uso delle formule è obbligatorio.

[maria601]

Anche a me viene una sola variabile libera, forse non ho scritto bene la soluzione, intendevo che z è libera mentre x ed y sono dipendenti da essa....per la riduzione gaussiana come avete fatto?

[DavideGenova1]

Sì, la tua soluzione $x=-22/7z,y=-5/7 z,z=z$ (scritta bene, direi, a parte magari la formattazione) ha $n-r=3-2=1$ variabili libere.
Per l'eliminazione gaussiana si effettuano operazioni elementari sulle equazioni o equivalentemente sulle righe della matrice dei coefficienti e dei termini noti (in questo caso l'ultima colonna sarebbe \(\mathbf{0}\) che non varia con tali operazioni), cioè moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma con un multiplo di un'altra riga e scambio di righe, per ridursi ad un sistema con matrice associata a gradini, in cui le variabili che rimangono senza pivot, cioè non associate al primo coefficiente non nullo di alcuna riga della matrice a gradini così ottenuta, possono essere "trattate da variabili libere".
Suppongo che la stragrande maggioranza dei testi di algebra lineare trattino l'argomento, che trovo ben trattato sullo Strang, Algebra lineare, che sto seguendo io, anche se non mi piace granché per lo scarsissimo rigore formale, perché come eserciziario lo trovo eccellente.