Sottospazio
Qualcuno mi spiega se c'è una differenza tra le seguenti notazioni relative ai sottospazi?
W={(x,y,z,t)$\epsilon$ $R^4$, x-2z+y=2t=0}
W = {($x_1$,$x_2$,$x_3$,$x_4$), $\epsilon$ $R^4$, $x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$=0}
e, ultima cosa,come si passa a una base espressa come combinazione lineare vettori tipo
W = L((1,2,0,1), (0,1,1,0))
Grazie a chi mi chiarisce questo dubbio...
W={(x,y,z,t)$\epsilon$ $R^4$, x-2z+y=2t=0}
W = {($x_1$,$x_2$,$x_3$,$x_4$), $\epsilon$ $R^4$, $x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$=0}
e, ultima cosa,come si passa a una base espressa come combinazione lineare vettori tipo
W = L((1,2,0,1), (0,1,1,0))
Grazie a chi mi chiarisce questo dubbio...
Risposte
Il fatto è il seguente:
Tra i molti spazi vettoriali ce n'è uno (è il tuo caso) che è quello delle n-uple ovvero insiemi ORDINATI di n numeri.
Nel tuo caso sei in R4 quindi avrai infiniti vettori( le n-uple) che variano con 4 parametri che sono x, y,z,t che potremmo anche chiamre x1,x2,x3,x4.Ogni parametro può assumere tutti i valori di R.
Nell'esercizio in questione ti viene dato un sottospazio attraverso le SOLUZIONI un sistema lineare OMOGENEO(per verificare che sia un sottospazio riguardati la teoria) che è x-2z+y=2t=0, ora tu saprai trovare le soluzioni di questo sistema con la matrice $((1,-2,1,0),(0,0,0,1))$
il risultato è t=0,y=h1,z=h2,x=2h2-h1 (h1 e h2 rappresentano "parametri liberi" ovvero che rappresentano un qualunque valore)
quindi il genrico vettore sara $((2h1-h2,h1,h2,0))$,che possiamo crivere come h1$((2,1,0,0))$+h2$((-1,0,1,0))$ che si riassume con la scrittura L($((2,1,0,0))$,$((-1,0,1,0))$) puoi provare ora a prendere due valori a caso di h1 e h2 ad esempio h1=3 e h2=4 ottendendo in vettore$((2,3,4,0))$, prendi questo vettore lo metti nel sistema ottenendo$((1*2,-2*3,1*4,0),(0*5,0*3,0*4,1*0))$ e noti che le due equ. del sistema sono vere quindi il vettore $((2,3,4,0))$ è soluzione!
Facendo variare h1 e h2 ottiemi infiniti vettori che saranno tutti analogamente soluzioni del sistema.Tali vettori saranno generati dalle combinazioni lineari di $((2,1,0,0))$ e $((-1,0,1,0))$ che è appunto la definzione di sottospazio vettoriale
Tra i molti spazi vettoriali ce n'è uno (è il tuo caso) che è quello delle n-uple ovvero insiemi ORDINATI di n numeri.
Nel tuo caso sei in R4 quindi avrai infiniti vettori( le n-uple) che variano con 4 parametri che sono x, y,z,t che potremmo anche chiamre x1,x2,x3,x4.Ogni parametro può assumere tutti i valori di R.
Nell'esercizio in questione ti viene dato un sottospazio attraverso le SOLUZIONI un sistema lineare OMOGENEO(per verificare che sia un sottospazio riguardati la teoria) che è x-2z+y=2t=0, ora tu saprai trovare le soluzioni di questo sistema con la matrice $((1,-2,1,0),(0,0,0,1))$
il risultato è t=0,y=h1,z=h2,x=2h2-h1 (h1 e h2 rappresentano "parametri liberi" ovvero che rappresentano un qualunque valore)
quindi il genrico vettore sara $((2h1-h2,h1,h2,0))$,che possiamo crivere come h1$((2,1,0,0))$+h2$((-1,0,1,0))$ che si riassume con la scrittura L($((2,1,0,0))$,$((-1,0,1,0))$) puoi provare ora a prendere due valori a caso di h1 e h2 ad esempio h1=3 e h2=4 ottendendo in vettore$((2,3,4,0))$, prendi questo vettore lo metti nel sistema ottenendo$((1*2,-2*3,1*4,0),(0*5,0*3,0*4,1*0))$ e noti che le due equ. del sistema sono vere quindi il vettore $((2,3,4,0))$ è soluzione!
Facendo variare h1 e h2 ottiemi infiniti vettori che saranno tutti analogamente soluzioni del sistema.Tali vettori saranno generati dalle combinazioni lineari di $((2,1,0,0))$ e $((-1,0,1,0))$ che è appunto la definzione di sottospazio vettoriale
ah grazie millle, mi hai tolto un dubbio
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