Sottospazio?

[turtle87crociato]

Devo dimostrare che il nucleo di una funzione lineare definita in uno spazio vettoriale $V$ e a valori in $W$ sia un sottospazio. Ho pensato a varie alternative, e l'unica strada da intraprendere mi sembra una senza senso.

Mi spiego meglio. Io ho studiato due teoremi secondo cui, per quanto riguarda il primo, un' applicazione lineare conserva la dipendenza lineare, per quanto riguarda il secondo una funzione lineare e iniettiva conserva l' indipendenza lineare.

Volevo quindi utilizzarle per la mia dimostrazione, ed avrei potuto farlo, credo, se e solo se la funzione f oltre ad essere iniettiva fosse anche stata biiettiva.

In sostanza, qualcuno sa come dimostrare questa semplice "evidenza"?

[Studente Anonimo]

Considera che di solito prima di pensare di applicare teoremi complicati conviene vedere se basta applicare la definizione.

Io ti consiglio di scrivere le definizioni di funzione lineare, sottospazio e nucleo e di rifletterci.

[turtle87crociato]

In effetti questo passaggio l'avrei già fatto. Però proprio non riesco a capire, quindi temo che mi sfugga qualcosa. Ho pensato a queste dimostrazioni complicate proprio perché applicando le definizioni non riuscivo a risolvere il mio problema.

Se il nucleo è un insieme di vettori di qualunque tipo (che abbiano però come condizione quella di avere come immagine secondo $f$ lineare il vettore nullo), come faccio a scegliere due generici vettori e dimostrare che la loro somma e il loro prodotto abbia come immagine secondo $f$ il vettore nullo?

Comunque, ero confuso, non so perchè. Non riuscivo a trovare il grimaldello, e, a dir la verità, non so se ci sono riuscito ora.

Provo a dimostrare, poi ti chiedo di vedere se va bene.

Dunque, io prendo una funzione lineare

$f: V to W$

1) Verifico che il vettore nullo appartenga al nucleo (e quindi dimostro che il sottospazio non sia vuoto).

Siccome f è lineare, è necessario che sia $f(\bar 0)=\bar 0$

1) Verifico che se due elementi generici del nucleo appartengano al sottospazio, allora appartiene al sottospazio anche la loro somma.

Considero due elementi $v, u$ del nucleo. Pertanto:

$f(v)= \bar 0$
$f(u)=\bar 0$

Per la linearità di f:

$f(u+v)=f(v)+f(u)=\bar 0 + \bar 0= \bar 0$. Poichè $u+v$ soddisfa la condizione di avere come immagine secondo f il vettore nullo (che indico con $\bar 0$ in tutto il post), allora u+v appartiene al nucleo.

3) Verifico che, per $\alpha in K$, con $K$ campo su cui "insiste" lo spazio vettoriale $V$, e per ogni $v in V$, $\alpha v in V$.

Io so che $f(v)=\bar 0$. Moltiplico ambo i membri per uno stesso scalare (penso si possa fare qui, se non si può fare chiedo aiuto, è una cosa che non mi sono mai chiesto prima, se l' "=" qui è un operatore di confronto come in quasi tutti i casi) $\alpha$, dopodiché il gioco è fatto (per la linearità di f, e facendo tutti i passaggi che per brevità non riporto)$.

[Studente Anonimo]

La tua dimostrazione va benissimo. Cosa non ti convince?

[turtle87crociato]

Forse il fatto di non riuscire a partire dai vettori, ma dalle funzioni. Mi pareva "illogico", "errato".

Per quanto riguarda l' "="? Indica semplicemente un' "identità logica" tra due membri che indicano la stessa cosa (e quindi a maggior ragione si possono moltiplicare ambo i membri)?

[Studente Anonimo]

"turtle87":Forse il fatto di non riuscire a partire dai vettori, ma dalle funzioni. Mi pareva "illogico", "errato".

Non sei partito dalle funzioni. Hai detto (sinteticamente): $0$ appartiene al nucleo perché è mandato in $0$, e se $u,v$ stanno nel nucleo allora ci stanno anche le loro combinazioni lineari perché la $f$ le rispetta. Mi sembra molto corretto, non vedo dove dovrebbe essere illogico.

Per quanto riguarda l' "="? Indica semplicemente un' "identità logica" tra due membri che indicano la stessa cosa (e quindi a maggior ragione si possono moltiplicare ambo i membri)?

Sì, non credo che la cosa si possa formalizzare più di tanto: se due cose sono uguali, facendoci sopra la stessa operazione si ottengono due cose uguali.