Sottospazio
Siano
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1.$(2,0,0,-2)in U nn W$
2.$(1,0,0,1)in U nn W$
3.$U nn W={0}$
4.$Dim.U nn W=1$
Bisogna individuare quali di queste opzioni è esatta.
Io l’ho svolto in questo modo:
Per il punto 1 osserviamo che la matrice di $U$ ha rango $2$ infatti:
$U=((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0))$
$rho(U)=2$ quindi ci sono due vettori linearmente indipendenti.
Dunque una base di $U$ sarà $B_U={(1,0,2,1),(3,0,2,-1)}$.
Poiché $W={(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$ è linearmente indipendente in quanto le soluzioni del sistema sono $a=0$ e $b=0$ e anche perché il secondo vettore è un vettore $e_2$ della base canonica di $R^4$ una sua base sarà proprio $B_W={(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$.
Mettendo in forma cartesiana la due basi $B_U$ e $B_W$:
$B_U=((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(x,y,z,t))$
$B_W=((1,1,0,-1),(0,1,0,0),(x,y,z,t))$
e facendo la loro intersezione ottengo il seguente sistema
${(4y=0),(z=0),(t+x=0):}$
${(y=0),(z=0),(t=-x):}$
$(x,0,0,-x)$ cioè $(1,0,0,-1)$
Per il punto 3 si può affermare che non esiste un vettore non nullo che appartiene a $U nn W$
Infatti dal Teor. del Completamento di una base si dimostra che $L(U)$ e $L(W)$ hanno in
Comune solo il vettor nullo.
Per il punto 4 la $Dim.U nn W=1$ in quanto la base trovata è costituita dal solo vettore $(1,0,0,-1)$.
Ora principalmente perché la base dell’intersezione di U e W mi viene $(1,0,0,-1)$ e non $(1,0,0,1)in U nn W$??Dove ho sbagliato??Potete dirmi dove c’è l’errore e come bisognava svolgerlo?
Grazie!
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1.$(2,0,0,-2)in U nn W$
2.$(1,0,0,1)in U nn W$
3.$U nn W={0}$
4.$Dim.U nn W=1$
Bisogna individuare quali di queste opzioni è esatta.
Io l’ho svolto in questo modo:
Per il punto 1 osserviamo che la matrice di $U$ ha rango $2$ infatti:
$U=((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0))$
$rho(U)=2$ quindi ci sono due vettori linearmente indipendenti.
Dunque una base di $U$ sarà $B_U={(1,0,2,1),(3,0,2,-1)}$.
Poiché $W={(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$ è linearmente indipendente in quanto le soluzioni del sistema sono $a=0$ e $b=0$ e anche perché il secondo vettore è un vettore $e_2$ della base canonica di $R^4$ una sua base sarà proprio $B_W={(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$.
Mettendo in forma cartesiana la due basi $B_U$ e $B_W$:
$B_U=((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(x,y,z,t))$
$B_W=((1,1,0,-1),(0,1,0,0),(x,y,z,t))$
e facendo la loro intersezione ottengo il seguente sistema
${(4y=0),(z=0),(t+x=0):}$
${(y=0),(z=0),(t=-x):}$
$(x,0,0,-x)$ cioè $(1,0,0,-1)$
Per il punto 3 si può affermare che non esiste un vettore non nullo che appartiene a $U nn W$
Infatti dal Teor. del Completamento di una base si dimostra che $L(U)$ e $L(W)$ hanno in
Comune solo il vettor nullo.
Per il punto 4 la $Dim.U nn W=1$ in quanto la base trovata è costituita dal solo vettore $(1,0,0,-1)$.
Ora principalmente perché la base dell’intersezione di U e W mi viene $(1,0,0,-1)$ e non $(1,0,0,1)in U nn W$??Dove ho sbagliato??Potete dirmi dove c’è l’errore e come bisognava svolgerlo?
Grazie!
Risposte
"Aristotele":
Per il punto 3 si può affermare che non esiste un vettore non nullo che appartiene a $U W$
Infatti dal Teor. del Completamento di una base si dimostra che $L(U)$ e $L(W)$ hanno in
Comune solo il vettor nullo.
Per il punto 4 la Dim.U W=1 in quanto la base trovata è costituita dal solo vettore $(1,0,0,-1)$.
Ora principalmente perché la base dell’intersezione di U e W mi viene $(1,0,0,-1)$ e non $(1,0,0,1)in U nn W$??Dove ho sbagliato??Potete dirmi dove c’è l’errore e come bisognava svolgerlo?
Grazie!
non capisco cosa vuoi dire, secondo me $U nn V$ è proprio $L((1, 0, 0, -1))$, ma le risposte esatte sono più di una ?
Perchè altrimenti ho sbagliato cosi sarebbero giuste la 1 e la 4
Diciamo che sono sicuro che la 3 e la 4 sono esatte...dove ho dei dubbi e sull'opzione 2 perchè al posto di ottenere
$(1,0,0,1)$ ottengo il vettore $(1,0,0,-1)$...questo non riesco a capire...quindi due sono le cose o ho sbagliato io l'intero esercizio oppure c'è un errore di stampa...questa è una prova intracorso del 2003...davvero sono perplesso a riguardo
ad ogni modo ti ringrazio per avermi risposto e spero che qualcuno mi sappia dire quale è il problema(se io o il testo
).
$(1,0,0,1)$ ottengo il vettore $(1,0,0,-1)$...questo non riesco a capire...quindi due sono le cose o ho sbagliato io l'intero esercizio oppure c'è un errore di stampa...questa è una prova intracorso del 2003...davvero sono perplesso a riguardo
ad ogni modo ti ringrazio per avermi risposto e spero che qualcuno mi sappia dire quale è il problema(se io o il testo
).
quello che dici è sbagliato perchè se $U nn W = {0_v}$ allora $dim(U nn V) = 0$
Ah si giusto è vero...
Giustamente tu dici poichè ho trovato che la $Dim U nn W=1$ non può mai essere che $U nn W={0}$...perchè ho trovato una base di $U nn W$ rappresentata dal vettore $(1,0,0,-1)$...Ora però il problema persiste perchè ottengo $(1,0,0,-1)$ e non $(1,0,0,1)$???
Giustamente tu dici poichè ho trovato che la $Dim U nn W=1$ non può mai essere che $U nn W={0}$...perchè ho trovato una base di $U nn W$ rappresentata dal vettore $(1,0,0,-1)$...Ora però il problema persiste perchè ottengo $(1,0,0,-1)$ e non $(1,0,0,1)$???
"Aristotele":[/quote]
Si ma nn vale sempre questo
[quote="Aristotele"]si può affermare che non esiste un vettore non nullo che appartiene a $U nn W$
Infatti dal Teor. del Completamento di una base si dimostra che $L(U)$ e $L(W)$ hanno in
Comune solo il vettor nullo.
non capisco cosa vuoi dire, mi dispiace
probabilmente potrei aver sbagliato i calcoli ma volendo evitarli tu stesso hai detto che
$dim(W) = 2$ e $dim(U) = 2$ dato che $dim(W+U) = 3$ quindi $dim(U nn W) = 1$ e perciò non può essere $U nn W = {0_v}$
però di quello detto sopra sono sicuro, le due cose si contraddicono
Si infatti hai ragione mi sono confuso io..
Piuttosto ora quello che non capsico è questo
"Aristotele":
Ah si giusto è vero...
Giustamente tu dici poichè ho trovato che la $Dim U nn W=1$ non può mai essere che $U nn W={0}$...perchè ho trovato una base di $U nn W$ rappresentata dal vettore $(1,0,0,-1)$...Ora però il problema persiste perchè ottengo $(1,0,0,-1)$ e non $(1,0,0,1)$???
Piuttosto ora quello che non capsico è questo
"Aristotele":
.Ora però il problema persiste perchè ottengo $(1,0,0,-1)$ e non $(1,0,0,1)$???
ma sei sicuro che la seconda sia giusta, perchè per me lo è la prima e quindi come hai fatto va bene
"n.icola":
ma sei sicuro che la seconda sia giusta, perchè per me lo è la prima e quindi come hai fatto va bene
sipenso di aver fatto bene!
Potete confermarmi anche questo esercizio:
Siano
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1. $U+W=R^4$
2. $Dim.U+W=3$
3. ${(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(0,1,0,0)$ è una base di $U+W$.
4. $U+W=U o+ W$
Per il punto 1. 2. e 3. mettendo in forma di matrice il sottospazio somma $U+W$
$U+W=((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0),(1,1,0,-1),(0,1,0,0))$
possiamo estrarre un minore di ordine $4$ cioè
$((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0),(1,1,0,-1))=.-4 != 0$
quindi il rango sarà $rho=4$ ciò significa che i vettori lin. indip. sono $4$ e sono
$((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0),(1,1,0,-1))$ essi rappresentano una base di $U+W$ e che
quindi la $Dim.U+W=4$.
Per il punto 4. La somma diretta di due sottospazi $U$ e $W$ esiste
$<=>$ $U nn W={0}$ e $U+W=V$ in questo caso
$Dim.U+W=4$ quindi si può dire che $V=R^4$
è somma diretta dei due suoi sottospazi $U$ e $W$.
Inoltre con la Formula di Grassmann si dimostra anche l'altra condizione affinchè $V$ sia somma diretta cioè:
$dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U nn W)$
$4=2+2-dim(U nn W)$
$4=4-dim(U nn W)$ $=>$ $dim(U nn W)=0$ $=>$ $U nn W=0$.
In conclusione la condizione espressa nel punto 4. cioè $U+W=U o+ W$ esatta in quanto sempre dalla relazione di Grassmann si può dire che $dim(U o+ W)=dimU+dimW$ e poichè nel nostro caso $dimU+dimW=4$ allora è dimostrato.
Dunque mi trovo che sono esatte 1. e 4.
Mi confermate??
Siano
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1. $U+W=R^4$
2. $Dim.U+W=3$
3. ${(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(0,1,0,0)$ è una base di $U+W$.
4. $U+W=U o+ W$
Per il punto 1. 2. e 3. mettendo in forma di matrice il sottospazio somma $U+W$
$U+W=((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0),(1,1,0,-1),(0,1,0,0))$
possiamo estrarre un minore di ordine $4$ cioè
$((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0),(1,1,0,-1))=.-4 != 0$
quindi il rango sarà $rho=4$ ciò significa che i vettori lin. indip. sono $4$ e sono
$((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0),(1,1,0,-1))$ essi rappresentano una base di $U+W$ e che
quindi la $Dim.U+W=4$.
Per il punto 4. La somma diretta di due sottospazi $U$ e $W$ esiste
$<=>$ $U nn W={0}$ e $U+W=V$ in questo caso
$Dim.U+W=4$ quindi si può dire che $V=R^4$
è somma diretta dei due suoi sottospazi $U$ e $W$.
Inoltre con la Formula di Grassmann si dimostra anche l'altra condizione affinchè $V$ sia somma diretta cioè:
$dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U nn W)$
$4=2+2-dim(U nn W)$
$4=4-dim(U nn W)$ $=>$ $dim(U nn W)=0$ $=>$ $U nn W=0$.
In conclusione la condizione espressa nel punto 4. cioè $U+W=U o+ W$ esatta in quanto sempre dalla relazione di Grassmann si può dire che $dim(U o+ W)=dimU+dimW$ e poichè nel nostro caso $dimU+dimW=4$ allora è dimostrato.
Dunque mi trovo che sono esatte 1. e 4.
Mi confermate??
Cmq per il primo esercizio credo di aver fatto anche perchè il vettore è identico solo che c'è il $-$ secondo me la prof ha fatto un errore di stampa..Cmq non capisco come ti trovi con la prima cioè con $(2,0,0,-2)$ a me non torna...
Per quanto riguarda la dimensione ho fatto confusione con l'esercizio precedente lo dimostra il fatto che mi sono contradetto
scrivendo che $dim U nn W=1$ e che allora $U nn W=0$...ciò è palese anche secondo Grassmann proprio come hai fatto vedere tu...
Per quanto riguarda la dimensione ho fatto confusione con l'esercizio precedente lo dimostra il fatto che mi sono contradetto
scrivendo che $dim U nn W=1$ e che allora $U nn W=0$...ciò è palese anche secondo Grassmann proprio come hai fatto vedere tu...
Ciao,
non ho capito molto di quello che hai scritto, però da quel poco che so
$U+W = {(1, 0, 2, 1), (3, 0, 2, -1), (2, 0, 2, 0), (1, 1, 0, -1), (0, 1, 0, 0)}$, e adesso ti basta calcolare la dimensione
inoltre, non ho capito come ma hai esluso che $U + W = RR^4$ dopodichè però hai detto che la $dim(U + W) = 4$, quindi qualcosa hai sbagliato
non ho capito molto di quello che hai scritto, però da quel poco che so
$U+W = {(1, 0, 2, 1), (3, 0, 2, -1), (2, 0, 2, 0), (1, 1, 0, -1), (0, 1, 0, 0)}$, e adesso ti basta calcolare la dimensione
inoltre, non ho capito come ma hai esluso che $U + W = RR^4$ dopodichè però hai detto che la $dim(U + W) = 4$, quindi qualcosa hai sbagliato
"n.icola":Si infatti anche qui mi sono distratto ho fatto lo stesso errore di prima (stessa contraddizione)
Ciao,
non ho capito molto di quello che hai scritto, però da quel poco che so
$U+W = {(1, 0, 2, 1), (3, 0, 2, -1), (2, 0, 2, 0), (1, 1, 0, -1), (0, 1, 0, 0)}$, e adesso ti basta calcolarti la dimensione
inoltre, non ho capito come ma hai esluso che $U + W = RR^4$ dopodichè però hai detto che la $dim(U + W) = 4$, quindi qualcosa hai sbagliato
ora correggo...però credo sicuro sia 4 la dimensione!!per il resto è fatto bene?il punto 4 ad esempio?
se non ho fatto errori
$((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0),(1,1,0,-1), (0,1,0,0)) ~ ((1,0,2,1),(4,0,4,0),(2,0,2,0),(2,1,2,0),(0,1,0,0)) ~ ((1,0,2,1),(1,0,1,0),(0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,0))$ cosi il rango dovrebbe essere ben visibile
per il punto 3 penso non ci siano problemi, se non è cosi chiedi pure, mentre per il quarto mi spiace ma non so cosa significhi
$((1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0),(1,1,0,-1), (0,1,0,0)) ~ ((1,0,2,1),(4,0,4,0),(2,0,2,0),(2,1,2,0),(0,1,0,0)) ~ ((1,0,2,1),(1,0,1,0),(0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,0))$ cosi il rango dovrebbe essere ben visibile
per il punto 3 penso non ci siano problemi, se non è cosi chiedi pure, mentre per il quarto mi spiace ma non so cosa significhi
"Aristotele":
Siano
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1.$(2,0,0,-2)in U nn W$
2.$(1,0,0,1)in U nn W$
3.$U nn W={0}$
4.$Dim.U nn W=1$
Bisogna individuare quali di queste opzioni è esatta.
Scusate l'intrusione, non ho letto tutti i vostri ragionamenti, però ad un'occhiata veloce mi sembra che per quel che riguarda il rpimo esercizio l'opzione corretta è la 1, come indicato da n.icola.
Io ho ragionato così.
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1.$(2,0,0,-2)in U nn W$
2.$(1,0,0,1)in U nn W$
3.$U nn W={0}$
4.$Dim.U nn W=1$
Se un vettore v appartiene all'intersezione di due sottospazi allora significa che appartiene ad entrambi i sottospazi, ovvero che si può esprimere mediante combinazione lineare di vettori che formano una base dei sottospazi. Nel caso dell'esercizio si ha:
$(2,0,0,-2)=1*(3,0,2,-1)-1*(1,0,2,1)$ perciò $(2,0,0,-2) \in U$
$(2,0,0,-2)=2*(1,1,0,-1)-2*(0,1,0,0)$ perciò $(2,0,0,-2) \in W$
quindi $(2,0,0,-2) \in U nn W$.
Non ho verificato se ci sono altre opzioni corrette, ma questa di certo lo è.
"Cozza Taddeo":
[quote="Aristotele"]Siano
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1.$(2,0,0,-2)in U nn W$
2.$(1,0,0,1)in U nn W$
3.$U nn W={0}$
4.$Dim.U nn W=1$
Bisogna individuare quali di queste opzioni è esatta.
Scusate l'intrusione, non ho letto tutti i vostri ragionamenti, però ad un'occhiata veloce mi sembra che per quel che riguarda il rpimo esercizio l'opzione corretta è la 1, come indicato da n.icola.
Io ho ragionato così.
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1.$(2,0,0,-2)in U nn W$
2.$(1,0,0,1)in U nn W$
3.$U nn W={0}$
4.$Dim.U nn W=1$
Se un vettore v appartiene all'intersezione di due sottospazi allora significa che appartiene ad entrambi i sottospazi, ovvero che si può esprimere mediante combinazione lineare di vettori che formano una base dei sottospazi. Nel caso dell'esercizio si ha:
$(2,0,0,-2)=1*(3,0,2,-1)-1*(1,0,2,1)$ perciò $(2,0,0,-2) \in U$
$(2,0,0,-2)=2*(1,1,0,-1)-2*(0,1,0,0)$ perciò $(2,0,0,-2) \in W$
quindi $(2,0,0,-2) \in U nn W$.
Non ho verificato se ci sono altre opzioni corrette, ma questa di certo lo è.
[/quote]Si infatti per il primo esercizio che ho postato credo che sia come dici tu il vettore $(2,0,0,-2)in U nn W$ anche perchè nel procedimento che ho applicato io si trova una BASE dell'intersezione dei due sottospazi cioè $B_(U nn W)=(1,0,0,-1)$..che imbecille che sono!!!
NON UN VETTORE APPARTENENTE ALL'INTERSEZIONE!! per quanto riguarda il punto 4 del secondo esercizio credo sia fatto bene...
Cmq vi ringrazio ad entrambi per la vostra disponibilità!!!purtroppo sono molto distratto...scusatemi!!
Grazie ancora!!
$U=L{(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)}$
$W=L{(1,1,0,-1),(0,1,0,0)}$
1.$(2,0,0,-2)in U nn W$
2.$(1,0,0,1)in U nn W$
3.$U nn W={0}$
4.$Dim.U nn W=1$
Se un vettore v appartiene all'intersezione di due sottospazi allora significa che appartiene ad entrambi i sottospazi, ovvero che si può esprimere mediante combinazione lineare di vettori che formano una base dei sottospazi. Nel caso dell'esercizio si ha:
$(2,0,0,-2)=1*(3,0,2,-1)-1*(1,0,2,1)$ perciò $(2,0,0,-2) \in U$
$(2,0,0,-2)=2*(1,1,0,-1)-2*(0,1,0,0)$ perciò $(2,0,0,-2) \in W$
quindi $(2,0,0,-2) \in U nn W$.
Ciao!
Non capisco perchè non hai considerato in $U$ il vettore $(2,0,2,0)$ cioè per vedere se un vettore appartiene a $U nn W$
chiaramente come hai detto tu bisogna vedere se appartiene ad entrambi i sottospazi.Ma nn bisogna fare così:
$(2,0,0,-2)=a(1,0,2,1)+b(3,0,2,-1)+c(2,0,2,0)$
Mettendo a sistema ottengo:
${(b=(2-c)/2),(a=-(2+c)/2):}$
e inoltre per il Terema di Rouchè-Capelli il sistema è incompatibile in quanto il rango della matrice completa non coincide con il rango della matrice incompleta.
Poi mi trovo invece che in $W$:
$(2,0,0,-2)=(a,a,0,-a)+(0,b,0,0)$
$(2,0,0,-2)=(2,2,0,-2)+(0,-2,0,0)$
$(2,0,0,-2)=(2,0,0,-2)$
quindi il vettore $(2,0,0,-2)$ in $W$ è combinazione lineare dei vettori di $W$ e appartiene a tale sottospazio.Posso concludere dicendo che $(2,0,0,-2)$ non appartiene all'intersezione $U nn W$.[/quote]
non ho seguito il tuo sistema ma
se $a = -1, b = 1$ e $c = 0$ allora $-1*(1, 0, 2, 1) + 1*(3, 0, 2, -1) + 0*(2, 0, 2, 0) = (2, 0, 0, -2)$
se $a = -1, b = 1$ e $c = 0$ allora $-1*(1, 0, 2, 1) + 1*(3, 0, 2, -1) + 0*(2, 0, 2, 0) = (2, 0, 0, -2)$
"n.icola":
non ho seguito il tuo sistema ma
se $a = -1, b = 1$ e $c = 0$ allora $-1*(1, 0, 2, 1) + 1*(3, 0, 2, -1) + 0*(2, 0, 2, 0) = (2, 0, 0, -2)$
Lo so però a me non vengono queste soluzioni $a = -1, b = 1$ e $c = 0$....e il sistema per altro è incompatibile...quindi non riesco a capire
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