Sottospazi vettoriali in R^4

[francescoric92]

Salve ragazzi,io avrei un problema con questo esercizio:

Siano dati i sottospazi vettoriali di R^4

U{(x1,x2,x3,x4) appartenenti a R4 | x2+x3=0 x1+x2-x4=0 }

W=Lin{(1 1 0 1),(1 0 1 0)}
i vettori sono scritti a colonne...

1) si calcolino le dimensioni e si determinino basi di U,W
2)si calcolino le dimensioni e si determinino basi di U intersezione W e U+W.

Quello che non riesco a trovare sono le basi di U,cioè come faccio a ricavarle dalle 2 equazioni?
Mi potreste spiegare anche il ragionamento?
Grazie mille.

[Carlocchio]

Tu sai che un sottospazio di U deve soddisfarre le contizioni x2+x3=0 e x1+x2-x4=0 ovvero x3=-x2 e x4=x1+x2
Quindi avrai un sottospazio così formato (x1,x2,-x2, x1+x2).
Posti a sistema x1=a x2=b -x2=c x1+x2=d le soluzioni formeranno un sottospazio del tipo (a,b,-b,a+b), e quindi presi ad esempio a=1 e b=2 una base di U sarà (1,2,-2,3).

[francescoric92]

Adesso ho capito come si trovano,però come faccio a capire quante basi devo prendere per mettere poi a sistema con W?
Invece per quanto riguarda W le basi sono (1 1 0 1) e (1 0 1 0) perché sono linearmente indipendenti,giusto?

[minomic]

"carlocchio":
Posti a sistema x1=a x2=b -x2=c x1+x2=d le soluzioni formeranno un sottospazio del tipo (a,b,-b,a+b), e quindi presi ad esempio a=1 e b=2 una base di U sarà (1,2,-2,3).

Ciao, credo ci sia un errore nella risposta di carlocchio. Prendendo $a=1$ e $b=2$ non si trova una base del sottospazio, ma solo un suo vettore!
La base si trova scrivendo$$
\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\-x_2\\x_1+x_2\end{matrix}\right) = x_1\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\1\end{matrix}\right) + x_2\left(\begin{matrix}0\\1\\-1\\1\end{matrix}\right)
$$quindi una base del sottospazio $U$ è formata da$$
\left\{
\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\1\end{matrix}\right), \ \left(\begin{matrix}0\\1\\-1\\1\end{matrix}\right)
\right\}
$$

[francescoric92]

Quindi poi per calcolare U+W devo considerare questa matrice:
1 0 1 1
0 1 1 0
0-1 0 1
1 1 1 0
che ridotta con il metodo a scalini mi esce:
1 0 1 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
salvo errori,e le basi di U+W sono {u1,u2,w1}perché ho considerato
le righe con i pivot,e la dimensione di U+W è 3=rango.
Secondo te è giusta?
:)

[minomic]

Sì a me sembra tutto corretto.

PS. Usa le formule!