Sottospazi vettoriali e sistemi lineari omogenei

[Mateprof84]

Salve a tutti! Ho da proporvi questo quesito d'esame di Geometria I.
Si studi il sottospazio U di \( \Re ^3 \) rappresentato nel riferimento \( R=((1,1,0),(0,0,1),(0,-2,0)) \) dal seguente sistema lineare omogeneo
\( \Sigma :\begin{cases} x1-x2-x3=0\\ x1+x2 =0 \end{cases} \)
Per "studiare" credo che la prof intenda trovare dimensione, base e equazioni nel riferimento di U. Io ho trovato che la dimensione di U è 1 e la base è (-1,1,-2) e le equazioni le ho trovate ponendo il rango di
\( \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ -2 & z \end{pmatrix} \) uguale a 1...

ho ridotto a gradini e le equazioni sono

\( \begin{cases} x-y=0 \\ z-2x=0\end{cases} \) ma mi sono resa conto che non mi è servito affatto il riferimento \( R \) . come devo usarlo? dove ho sbagliato?
Grazie a chi mi aiuterà!!!

[Mateprof84]

Allora ho fatto un passo avanti...in altri esercizi come questo la prof chiede esplicitamente di calcolare dimensione e base di un sottospazio rappresentato in un riferimento ( a volte quello naturale) da un sistema lineare omogeneo come quello di sopra...ma non c'è proprio nessuno che mi possa aiutare???

[cooper1]

sinceramente non so come si faccia. io l'avrei risolto come te comunque ma non mi sono mai capitati sottospazi vettoriali con dei riferimenti prefissati quindi non so se il procedimento che abbiamo fatto noi sia corretto.