Sottospazi vettoriali e insieme dei polinomi

[kira36]

Salve, avrei bisogno di un aiuto per capire un esercizio.
L'esercizio è quello di verificare se l'insieme dei polinomi di grado n in Kn{x} ( K campo ) è un sottospazio vettoriale.
Secondo me la risposta è "sì è un sottospazio vettoriale" perché considerando l'insieme dei polinomi di grado n esiste sempre il polinomio nullo. Inoltre è verificata la chiusura rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare dato che, considerati due polinomi generici, la loro somma darà sempre un polinomio di grado minore o uguale ad n, e considerato un scalare e un polinomio generico, il prodotto tra questi è sempre un polinomio di grado minore o uguale a n. Tuttavia la soluzione dell' esercizio mi dice che questo insieme non è un sottospazio vettoriale e, in particolare, viene posto che n ( il grado del polinomio) è strettamente maggiore di zero. Quindi ciò che non capisco è il perché n venga posto maggiore strettamente di zero e, di conseguenza, perché non sia un sottospazio vettoriale.
Se qualcuno trova la soluzione a questo mio dilemma gli sarei estremamente grato.

[billyballo2123]

Se $n=0$, allora $\mathbb{K}_n[x]=\mathbb{K}$, e di conseguenza è uno spazio vettoriale. Se però $n>0$, non lo è più; infatti, al contrario di quello che dici te, il polinomio nullo (che ha grado zero) non appartiene all'insieme dei polinomi di grado $n$ (dato che $n>0$).

[kira36]

Adesso è chiaro! grazie mille.

[billyballo2123]

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