Sottospazi vettoriali e basi

[luca.piacentini2]

Siano U1 e U2 i seguenti sottospazi vettoriali di $RR^4$

$U_1=Span{( (1), (0), (0), (2) ) , ( (0), (2), (1), (-1) ) }$ $U_2:\{(x_1-x_2+x_4=0), (2x_2-x_3-3x_4=0): }$

1) Scrivere una base $B$ di $U_1 nn U_2$
2) Completare $B$ a una base $B'$ di $U_1+U_2$

Non so davvero come procedere, mi potreste aiutare in qualche modo, grazie!!

[Sk_Anonymous]

1) Ci sono vari modi per risolvere questo quesito: ti suggerisco quello seguente.
Il generico vettore $v$ di $U_1$ è : $v=a((1),(0),(0),(2))+b((0),(2),(1),(-1))=((a),(2b),(b),(2a-b))$
Imponendo la condizione che $v$ appartenga ad $U_2$ si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}a-2b+2a-b=0\\4b-b-6a+3b=0\end{cases} \)
che si riduce poi all'unica equazione $a=b$
Pertanto si ha $v=a ((1),(2),(1),(1)) $ e quindi una base di $U_1 \cap U_2$ è: $B={((1),(2),(1),(1)) }$
Da qui discende che $dim(U_1\cap U_2)=1$

2) Per questo secondo quesito osservo che $dim(U_1)=2$. Pure $dim(U_2)=2$ perché le due equazioni che rappresentano $U_2$ contengono 4 incognite di cui solo 2 sono "libere" e le rimanenti 2 sono "legate".
Per la formula di Grassmann risulta che :
$dim(U_1+U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1 \cap U_2)=2+2-1=3$
Occorrono quindi 3 vettori linearmente indipendenti per formare una base di $U_1+U_2$. Uno di questi è il vettore
della base B ed altri due possono essere : $ ( (1),(0),(0),(0)),((0),(1),(0),(0)) $ [ lascio a te il compito di verificare che questi due vettori, insieme col vettore di B, sono effettivamente lin. ind.].
In conclusione si ha :
$B'={((1),(2),(1),(1)),( (1),(0),(0),(0)),((0),(1),(0),(0)) }$