Sottospazi Vettoriali di $R^{2,2}$

[geckissimo]

Salve ragazzi, mi son venuti alcuni dubbi su questo esercizio alquanto banale...

Siano dati gli spazi vettoriali
$V={( ( a , b ),( c , d ) ); a - d = 0 }$
$W={( ( a , b ),( c , d ) ); a = b = c }$
determinare che V e W sono sottospazi vettoriali di $R^{2,2}$
trovare base e dimensione di V,W, $VnnW$,$V+W$
la somma è diretta?

come potete ben vedere il testo è molto semplice ma non so perchè mi impapocchio nella dimostrazione che V e W sono chiusi rispetto alla somma e alla moltiplicazione ovvero sono sottospazi di $R^{2,2}$
potete aiutarmi a risolvere sta parte?
grazie

[Paolo902]

come potete ben vedere il testo è molto semplice ma non so perchè mi impapocchio nella dimostrazione che V e W sono chiusi rispetto alla somma e alla moltiplicazione ovvero sono sottospazi di $R^{2,2}$
potete aiutarmi a risolvere sta parte?
grazie

Ciao e benvenuto tra noi.

Secondo me non serve tutto quello che dici: per dimostrare che sono sottospazi ti basta osservare che $V$ e $W$ sono insiemi delle soluzioni di sistemi lineari omogenei (il primo è evidente, il secondo, beh, da $a=b=c => a-b-c=0$). E ciò basta a garantire che trattasi di sottospazi

Ok?

Se hai ancora bisogno, fai un fischio, siamo qui.

[geckissimo]

Ciao e benvenuto tra noi.

Grazie dell'accoglienza tempestiva

Penso di avere capito ciò che intendi però mi sovviene un' altra questio ovvero... e se mi si dava soltanto V (o W)? come faccio a dimostrare in questo caso che è sottospazio?

[Paolo902]

"geckissimo":

Ciao e benvenuto tra noi.

Grazie dell'accoglienza tempestiva

Penso di avere capito ciò che intendi però mi sovviene un' altra questio ovvero... e se mi si dava soltanto V (o W)? come faccio a dimostrare in questo caso che è sottospazio?

Non credo di aver capito bene la questione...
Ti ricordo, comunque, che anche una sola equazione lineare omogenea determina un sottospazio (che generalmente, se lo hai già studiato, si chiama iperpiano vettoriale).

[geckissimo]

"Paolo90":Non credo di aver capito bene la questione...
Ti ricordo, comunque, che anche una sola equazione lineare omogenea determina un sottospazio (che generalmente, se lo hai già studiato, si chiama iperpiano vettoriale).

Bene...
siamo d'accordo che una equazione lineare omogenea determina un sottospazio di dimensione $n-1$!
quindi basta dire questo per dimostrare che in questo caso gli spazi considerati sono necessariamente sottospazi di $R^{2,2}$
sono un po de coccio ma dopo che rileggo un centinaio di volte capisco

Grazie ancora per i chiarimenti

PS apro un nuovo topic per mostrarvi un analogo esercizio un po meno banale ma complesso (giusto per non confondere argomenti)

[Paolo902]

Vi sono due modi per "dare" un sottospazio:
- o mediante i generatori
- o mediante delle equazioni omogenee

Nel secondo caso, il sottospazio coincide con il nullspace della matrice (dei coefficienti) associata al sistema omogeneo.

Quindi, basta osservare che le equazioni date sono omogenee per concludere che il sottoinsieme dato costituisce un sottospazio.

[geckissimo]

"Paolo90":Vi sono due modi per "dare" un sottospazio:
- o mediante i generatori
- o mediante delle equazioni omogenee

Nel secondo caso, il sottospazio coincide con il nullspace della matrice (dei coefficienti) associata al sistema omogeneo.

Quindi, basta osservare che le equazioni date sono omogenee per concludere che il sottoinsieme dato costituisce un sottospazio.

Infatti!
Dalle condizioni ricavate dai sottospazi è possibile scrivere il sistema lineare omogeneo
$a-d=0$
$a-b=0$
$b-c=0$
$a-c=0$
da cui
$( (1, 0 , 0 ,-1 ),(1 ,-1 ,0 ,0 ),(0 ,1 ,-1 ,0 ),(1 ,0 ,-1 ,0 ) ) * ( ( a , , , ),( b , , , ),( c , , , ),( d , , , ) ) = ( ( 0 , , , ),( 0 , , , ),( 0 , , , ),( 0 , , , ) )$

grazie ancora per la pazienza