Sottospazi vettoriali

[Shari_it]

In alcuni esercizi svolti il mio professore per dimostrare che un insieme é un sottspazio vettoriale dimistra semplicemente che esiste un span. Non capisco perche fa cosi al posto di verificare l' esistenza dello zero, la chiusura rispetto all addizione e al prodotto per scalari.
Inoltre riposto un insieme che ho trovato all'interno di un esercizio: devo verificare se è un sottospazio vettoriale:
${(x_1,x_2,x_3) in RR : x_1^2+x_2^2+x_3^2=0}$
lo risolverei così:
porrei $x_1^2 = X$ $x_2^2=Y$ $x_3^2=Z$. poi scriverei Z come combinazione lineare delle altre due e troverei lo span (una volta aver capito perchè è indifferente calcolare lo span o verificare le condizioni del sottospazio.
Qualcuno sa rispondere alla mia domanda e dirmi se l'interpretazione dell'esercizio è giusta visto che non ho soluzioni?
Grazie

[Paolo902]

"Shari_it":Inoltre riposto un insieme che ho trovato all'interno di un esercizio: devo verificare se è un sottospazio vettoriale:
${(x_1,x_2,x_3) in RR : x_1^2+x_2^2+x_3^2=0}$

Non cercare un procedimento meccanico per risolvere gli esercizi; al contrario impara a ragionare e riflettere su ciò che ti trovi davanti (molto spesso ciò ti è di aiuto, più di un metodo pronto e preconfezionato che magari non funziona). Il tuo insieme è composto da tutte le terne di numeri reali la somma dei cui quadrati è 0. Ora quale caratteristica fondamentale ha il quadrato di un numero reale?

[Kashaman]

Potrei fortemente sbagliarmi, ma dal fatto che $x_1,x_2,x_3 in RR$ e quadrati in $RR$ sono sempre positivi, direi proprio che la condizione è soddisfatta per
$x_1=x_2=x_3=0$. Il che implica che il tuo sottospazio è quello banale.

[Shari_it]

Sono tutti positivi.. Quindi per forza devono essere uguali a zero non ci avevo pensato .. Grazie mille era davvero semplice.. Quindi immagino che per quanto riguarda il discorso sullo span debba porre attenzione ai vettori che lo compongono.. Ci sarà qualche relazione particolare con l'insieme..