Sottospazi vettoriali
Buonasera.
Vorrei che qualcuno confermi o confuti (nel caso avessi scritto un eresia) quel che io ho compreso riguardo ai sottospazi vettoriali.
Un sottospazio vettoriale ammette come unici generatori i vettori della base canonica (quindi vettori del tipo $((1,0..0), (0,1...0), (0...01))$?
Il mio esercizio recita così:
- Data l’applicazione lineare $f$ : $R^2$ $\to$ $R^4$ tale che (1,−1) $in$ $kerf$ e (2,−1) $in$ $f^-1$(1,−1, 1,−1)
si determini la matrice di $f$ rispetto alle basi canoniche;
si trovi (se possibile) un’applicazione lineare $g$ : $R^4$ $\to$ $R^2$ tale che $Img$ sia il sottospazio vettoriale di $R^2$ avente come base il vettore (1,−1).
La matrice associata da me trovata è: $((1,1),(-1,-1),(1,1),(-1,-1))$
Ora, esser sottospazio vettoriale di $R^2$ vuol dire che la dim($Img$)=2 e che i due vettori costituenti la base di $Img$ devono essere linearmente indipendenti ed avere come generatori le basi canoniche (particolare che magari si potrebbe tralasciare, ma che mi piacerebbe comprender bene). Il fatto che $R^2$ abbia come unica base il vettore (1, -1) lascia però intender che gli altri vettori siano linearmente dipendenti, osservazione che non si sposa con quanto affermato prima (ovvero che l' $Img$ sottospazio vettoriale di $R^2$ abbia come base due vettori linearmente indipendenti).
Nel caso in cui non l'esercizio non avesse precisato che $R^2$ avesse come base il solo vettore (1, -1) una soluzione sarebbe potuta esser la matrice $((1,-1),(0,0))$ ?
Potreste aiutarmi in questa direzione, correggendo ragionamenti obsoleti?
Grazie.
Vorrei che qualcuno confermi o confuti (nel caso avessi scritto un eresia) quel che io ho compreso riguardo ai sottospazi vettoriali.
Un sottospazio vettoriale ammette come unici generatori i vettori della base canonica (quindi vettori del tipo $((1,0..0), (0,1...0), (0...01))$?
Il mio esercizio recita così:
- Data l’applicazione lineare $f$ : $R^2$ $\to$ $R^4$ tale che (1,−1) $in$ $kerf$ e (2,−1) $in$ $f^-1$(1,−1, 1,−1)
si determini la matrice di $f$ rispetto alle basi canoniche;
si trovi (se possibile) un’applicazione lineare $g$ : $R^4$ $\to$ $R^2$ tale che $Img$ sia il sottospazio vettoriale di $R^2$ avente come base il vettore (1,−1).
La matrice associata da me trovata è: $((1,1),(-1,-1),(1,1),(-1,-1))$
Ora, esser sottospazio vettoriale di $R^2$ vuol dire che la dim($Img$)=2 e che i due vettori costituenti la base di $Img$ devono essere linearmente indipendenti ed avere come generatori le basi canoniche (particolare che magari si potrebbe tralasciare, ma che mi piacerebbe comprender bene). Il fatto che $R^2$ abbia come unica base il vettore (1, -1) lascia però intender che gli altri vettori siano linearmente dipendenti, osservazione che non si sposa con quanto affermato prima (ovvero che l' $Img$ sottospazio vettoriale di $R^2$ abbia come base due vettori linearmente indipendenti).
Nel caso in cui non l'esercizio non avesse precisato che $R^2$ avesse come base il solo vettore (1, -1) una soluzione sarebbe potuta esser la matrice $((1,-1),(0,0))$ ?
Potreste aiutarmi in questa direzione, correggendo ragionamenti obsoleti?
Grazie.
Risposte
Non si capisce se $g$ e $f$ hanno qualche relazione tra di loro o sono due cose diverse.
PS. Quando vuoi usare la grafica per scrivere le formule, ci dai un altro aiuto.
PS. Quando vuoi usare la grafica per scrivere le formule, ci dai un altro aiuto.
Ok, appena imparerò a farlo, sarò lieta di farmi aiutare, grazie.
Nella speranza che il quesito sia più comprensibile attendo vostri chiarimenti, grazie.
A parte l'errore di scrittura, la mia sarebbe voluta esser una matrice trasposta quindi $((1,0),(-1,0))$ quando mi dice che $Img$ è sottospazio di $R^2$ la matrice non si riduce ad una matrice $R^(2,2)$ ?
Grazie davvero per la chiarezza della quale si è fatto portatore per i precedenti punti. Lo spazio comincia, forse, a "prender forma".
Grazie davvero per la chiarezza della quale si è fatto portatore per i precedenti punti. Lo spazio comincia, forse, a "prender forma".
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