Sottospazi vettoriali
Ho fatto questo esercizio:
Si dica quali tra i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali, e perché :
$H1 = {(x, y, z) di R3 : z = x + y}$
lo è perchè contiene l'origine
$H2 = {(x, y, z) di R3 : z = x + 1}$
non lo è perchè è traslato di 1, e poi per essere sottospazio un piano deve contenere l'origine.
$H3 = {(x, y, z) di R3 : z ≥ x }$
non è sottospazio, perchè può essere anche $x>z$
che ne dite?
Si dica quali tra i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali, e perché :
$H1 = {(x, y, z) di R3 : z = x + y}$
lo è perchè contiene l'origine
$H2 = {(x, y, z) di R3 : z = x + 1}$
non lo è perchè è traslato di 1, e poi per essere sottospazio un piano deve contenere l'origine.
$H3 = {(x, y, z) di R3 : z ≥ x }$
non è sottospazio, perchè può essere anche $x>z$
che ne dite?
Risposte
Si dica quali tra i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali, e perché :
Non è per questo che è un sottospazio vettoriale, vedi anche $K = {(x, y, z) inRR^3 : xy=0}$ contiene il vettore nullo e non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$.
Proprio perchè si intuisce essere un sottoispazio vettoriale, devi provare:
a) E' un insieme non vuoto
b) Stabile rispetto alla somma e al prodotto esterno.
Si bastava dire che non contiene il vettore nullo.
Anche quì la tua motivazione non è una giustificazione valida. Bisogna far notare che pur avendo il vettore nullo, non è stabile rispetto alla somma o prodotto esterno.
Non è stabile rispetto al prodotto esterno: il vettore $(3,4,5)inH_3$, ma il vettore $-1(3,4,5)=(-3,-4,-5)notinH_3$ perchè $-5<-3$
Maggiore riflessione.
$H1 = {(x, y, z) di R3 : z = x + y}$
lo è perchè contiene l'origine
Non è per questo che è un sottospazio vettoriale, vedi anche $K = {(x, y, z) inRR^3 : xy=0}$ contiene il vettore nullo e non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$.
Proprio perchè si intuisce essere un sottoispazio vettoriale, devi provare:
a) E' un insieme non vuoto
b) Stabile rispetto alla somma e al prodotto esterno.
$H2 = {(x, y, z) di R3 : z = x + 1}$
non lo è perchè è traslato di 1, e poi per essere sottospazio un piano deve contenere l'origine.
Si bastava dire che non contiene il vettore nullo.
$H3 = {(x, y, z) di R3 : z ≥ x }$
non è sottospazio, perchè può essere anche $x>z$
Anche quì la tua motivazione non è una giustificazione valida. Bisogna far notare che pur avendo il vettore nullo, non è stabile rispetto alla somma o prodotto esterno.
Non è stabile rispetto al prodotto esterno: il vettore $(3,4,5)inH_3$, ma il vettore $-1(3,4,5)=(-3,-4,-5)notinH_3$ perchè $-5<-3$
che ne dite?
Maggiore riflessione.
La prima cosa che faccio è vedere se c'è il vettore nullo, ma è una condizione non sufficiente per dire se è un sottospazio.
quindi faccio l'esempio che
$z=x+y$ allora il generico vettore è $(x,y,x+y)$
quindi per esempio: $(1,1,2)$ se metto un $alpha = 3$ ----> $(3,3,6)$ quindi è stabile rispetto all'addizione e alla moltiplicazione.
SECONDO:
Ricordavo di un esempio postato proprio su mate, qualche tempo fa che diceva che è visibile che è un piano traslato, e il piano ha condizione necessaria per essere sottospazio di avere il passaggio per l'origine, esso non ce l'ha e quindi NON è sottospazio.
Era diciamo una cosa in più xD
Per l'esempio da te postato:
$x*y=0$
il generico vettore si scrive come:
$(x,0,z)$ contiene il vettore nullo, ma non è sottospazio perchè $y=0$ sempre?
quindi faccio l'esempio che
$z=x+y$ allora il generico vettore è $(x,y,x+y)$
quindi per esempio: $(1,1,2)$ se metto un $alpha = 3$ ----> $(3,3,6)$ quindi è stabile rispetto all'addizione e alla moltiplicazione.
SECONDO:
Ricordavo di un esempio postato proprio su mate, qualche tempo fa che diceva che è visibile che è un piano traslato, e il piano ha condizione necessaria per essere sottospazio di avere il passaggio per l'origine, esso non ce l'ha e quindi NON è sottospazio.
Era diciamo una cosa in più xD
Per l'esempio da te postato:
$x*y=0$
il generico vettore si scrive come:
$(x,0,z)$ contiene il vettore nullo, ma non è sottospazio perchè $y=0$ sempre?
Il generico vettore non lo puoi scrivere così, se così fosse sarebbe un piano passante per l'origine e quindi un sottospazio.
Invece l'equazione $xy=0$ individua gli assi coordinati di un piano della base canonica. Immagina più semplicemente il piano cartesiano ($RR^2$), prova a sommare due vettori che stanno sugli assi cartesiani, che vettore ottieni?
Invece l'equazione $xy=0$ individua gli assi coordinati di un piano della base canonica. Immagina più semplicemente il piano cartesiano ($RR^2$), prova a sommare due vettori che stanno sugli assi cartesiani, che vettore ottieni?
Weblan ha detto che contiene un vettore nullo, ma non è sottospazio
$x*y=0$ se $x=0$ e\o $y=0$ quando $x=y=0$ allora è l'equazione dell'asse $z$
non vorrei dire cretinate, però se ho due vettori che giacciono sugli assi di $xy$ troverò che il vettore somma è $sqrt(x^2 +y^2)$
$x*y=0$ se $x=0$ e\o $y=0$ quando $x=y=0$ allora è l'equazione dell'asse $z$
non vorrei dire cretinate, però se ho due vettori che giacciono sugli assi di $xy$ troverò che il vettore somma è $sqrt(x^2 +y^2)$
$z=x+y$ allora il generico vettore è $(x,y,x+y)$
quindi per esempio: $(1,1,2)$ se metto un $alpha = 3$ ----> $(3,3,6)$ quindi è stabile rispetto all'addizione e alla moltiplicazione.
Si, ma questo vale per un sol vettore. Bisogna verificarlo in generale.
SECONDO:
Ricordavo di un esempio postato proprio su mate, qualche tempo fa che diceva che è visibile che è un piano traslato, e il piano ha condizione necessaria per essere sottospazio di avere il passaggio per l'origine, esso non ce l'ha e quindi NON è sottospazio.
Era diciamo una cosa in più xD
Queste sono indicazioni per capire di fronte a quale tipo di sottoinsieme ci troviamo. Per provare che sia un sottospazio bisogna verificare che valgono le tre condizioni che caratterizzano i sottospazi: a) Non vuoti, b) Stabili rispetto alla somma, c) Stabili rispetto al prodotto esterno.
Per provare che non sono sottospazi è sufficiente far vedere che non vale almeno una delle tre condizioni.
Per l'esempio da te postato:
$x*y=0$
il generico vettore si scrive come:
$(x,0,z)$ contiene il vettore nullo, ma non è sottospazio perchè $y=0$ sempre?
Le terne di quel tipo costituiscono un sottospazio. Invece $(1,0,3)inK$ e $(0,-2,3)inK$, però $(1,0,3)+(0,-2,3)=(1,-2,6)notinK$ perchè $1*-2=-2!=0$
Osservazione: Il sottoinsieme $K={(x,y,z)|x*y=0}$ non è un sottospazio per quello che ho appena detto e rappresenta l'unione di due piani: $\alphauu\beta$, il piano $\alpha=pi_(yz)$ di equazione $x=0$ e il piano $\beta=pi_(xz)$ di equazione $y=0$.
Forse ho capito la 'tattica' da usare.
se per esempio ho:
$(x,x^2,z): x di R*R$
per vedere se è sottospazio:
prendo due vettori:
$(2,4,0)$ e $(3,9,1)$
la loro somma è: $(2,4,0)+(3,9,1)=(5,13,1)$ che non segue la legge di $x^2$ quindi non è sottospazio.
giusto?
se per esempio ho:
$(x,x^2,z): x di R*R$
per vedere se è sottospazio:
prendo due vettori:
$(2,4,0)$ e $(3,9,1)$
la loro somma è: $(2,4,0)+(3,9,1)=(5,13,1)$ che non segue la legge di $x^2$ quindi non è sottospazio.
giusto?
"clever":
$(2,4,0)$ e $(3,9,1)$
la loro somma è: $(2,4,0)+(3,9,1)=(5,13,1)$ che non segue la legge di $x^2$ quindi non è sottospazio.
giusto?
si
Ho altri esercizi simili, non mi va di aprire un altro topic, continuo sotto:
Vedere se sono sottospazi vettoriali nello spazio vettoriale R2[x] dei polinomi in x a coefficienti reali di grado al più 2 :
$W_1 = {a*x^2 +b*x +c di R_2 [x] : a = b+1}$
prima cosa che faccio la riscrivo con la legge $a = b+1$
$(b+1)*x^2 +b*x +c$
prendo $b$ e $c$ a piacimento e ci faccio la somma
tipo: $b=1 c=1$ e $b'=2 c'=4$
$(2*x^2 + x + 1)+(3x^2 + 2x +4) = 5x^2 +3x +5$
e già non va bene, quindi non è stabile rispetto alla somma, non può essere sottospazio.
$W_2 = { p(x)= a*x^2 +b*x +c di R_2 [x]: p(1)=0}$
$p(1)=a+b+c=0$
quindi $c= -(a+b)$
parlando sempre dei coeff di $x^2,x,1$ prendo due vettori di questo tipo: $(a,b, -a-b)$
$(2,1,-3)$ e $(1,1,-2)$ la loro somma è: $(3,2,-5)$ e segue quella legge.
lo stesso vale per la moltiplicazione per uno scalare.
quindi è sottospazio.
$W_1 = {a*x^2 +b*x +c di R_2 [x]: a=b=c}$
è stabile sia verso la somma che la moltiplicazione.
$a*(x^2+x+1)$ fa parte di $R_2$ e anche un generico $alpha*a*(x^2+x+1)$
che ne pensate?
Vedere se sono sottospazi vettoriali nello spazio vettoriale R2[x] dei polinomi in x a coefficienti reali di grado al più 2 :
$W_1 = {a*x^2 +b*x +c di R_2 [x] : a = b+1}$
prima cosa che faccio la riscrivo con la legge $a = b+1$
$(b+1)*x^2 +b*x +c$
prendo $b$ e $c$ a piacimento e ci faccio la somma
tipo: $b=1 c=1$ e $b'=2 c'=4$
$(2*x^2 + x + 1)+(3x^2 + 2x +4) = 5x^2 +3x +5$
e già non va bene, quindi non è stabile rispetto alla somma, non può essere sottospazio.
$W_2 = { p(x)= a*x^2 +b*x +c di R_2 [x]: p(1)=0}$
$p(1)=a+b+c=0$
quindi $c= -(a+b)$
parlando sempre dei coeff di $x^2,x,1$ prendo due vettori di questo tipo: $(a,b, -a-b)$
$(2,1,-3)$ e $(1,1,-2)$ la loro somma è: $(3,2,-5)$ e segue quella legge.
lo stesso vale per la moltiplicazione per uno scalare.
quindi è sottospazio.
$W_1 = {a*x^2 +b*x +c di R_2 [x]: a=b=c}$
è stabile sia verso la somma che la moltiplicazione.
$a*(x^2+x+1)$ fa parte di $R_2$ e anche un generico $alpha*a*(x^2+x+1)$
che ne pensate?
Mi sembrano tutti giusti.
In particolare il primo è un sottospazio affine a quello dei polinomi che hai definito, tali che $a=b$.
In particolare il primo è un sottospazio affine a quello dei polinomi che hai definito, tali che $a=b$.
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