Sottospazi vettoriali
Data la matrice:
$A = (( 6, -9),(4, -6))$
provare che i sottoinsiemi:
$F = \{X \in R^{2,2} | AX = XA \}$, $G = \{X \in R^{2,2}| AX = -XA\}$
sono sottospazi vettoriali e trovare una base per ciascuno di essi.
ii) Determinare una base per i sottospazi vettoriali $FnnG$ e $F + G$.
iii) Data la matrice:
$C = ((0, h - 2),(0, h - 3))$
stabilire per quale valore di $h$ la matrice $C$ appartiene al sottospazio vettoriale $F + G$.
Assegnato ad h tale valore, trovare due matrici $C_1 in F$ e $C_2 \in G$ in modo tale che $C = C_1 + C_2$ .
POtreste svolgermi questo esercizio per favore? soprattutto la prima richiesta che non sono riuscita a svolgere
$A = (( 6, -9),(4, -6))$
provare che i sottoinsiemi:
$F = \{X \in R^{2,2} | AX = XA \}$, $G = \{X \in R^{2,2}| AX = -XA\}$
sono sottospazi vettoriali e trovare una base per ciascuno di essi.
ii) Determinare una base per i sottospazi vettoriali $FnnG$ e $F + G$.
iii) Data la matrice:
$C = ((0, h - 2),(0, h - 3))$
stabilire per quale valore di $h$ la matrice $C$ appartiene al sottospazio vettoriale $F + G$.
Assegnato ad h tale valore, trovare due matrici $C_1 in F$ e $C_2 \in G$ in modo tale che $C = C_1 + C_2$ .
POtreste svolgermi questo esercizio per favore? soprattutto la prima richiesta che non sono riuscita a svolgere
Risposte
Ciao francyluna91 e benvenut* nel forum! 
Due raccomandazioni: la prima è l'uso delle formule (consulta link).
Per questa prima volta ho modificato io (ho commesso qualche errore?), ma per le prossime volte prova ad usarlo. Renderai i tuoi messaggi molto più chiari e troverai più utenti disposti ad darti una mano (e comunque l'uso delle formule diventa obbligatorio dopo 30 messaggi).
La seconda raccomandazione è più importante: quando proponi un esercizio, abbi cura di proporre un tuo tentativo di risoluzione oppure di spiegare bene i tuoi dubbi, altrimenti diventa difficile anche per noi aiutarti. Ricordati che il forum non è un risolutore automatico di esercizi
Per qualsiasi altra informazione consulta il regolamento
Nel merito di questo esercizio, per provare che si tratta di due sottospazi puoi usare la definizione.
In particolare, devi verificare che la somma di due qualsiasi elementi di $F$ è ancora in $F$ e che il prodotto di un elemento di $F$ per uno scalare reale è ancora un elemento di $F$.
Sai farlo?
Due raccomandazioni: la prima è l'uso delle formule (consulta link).
Per questa prima volta ho modificato io (ho commesso qualche errore?), ma per le prossime volte prova ad usarlo. Renderai i tuoi messaggi molto più chiari e troverai più utenti disposti ad darti una mano (e comunque l'uso delle formule diventa obbligatorio dopo 30 messaggi).
La seconda raccomandazione è più importante: quando proponi un esercizio, abbi cura di proporre un tuo tentativo di risoluzione oppure di spiegare bene i tuoi dubbi, altrimenti diventa difficile anche per noi aiutarti. Ricordati che il forum non è un risolutore automatico di esercizi
Per qualsiasi altra informazione consulta il regolamento
Nel merito di questo esercizio, per provare che si tratta di due sottospazi puoi usare la definizione.
In particolare, devi verificare che la somma di due qualsiasi elementi di $F$ è ancora in $F$ e che il prodotto di un elemento di $F$ per uno scalare reale è ancora un elemento di $F$.
Sai farlo?
"cirasa":
Ciao francyluna91 e benvenut* nel forum!
Due raccomandazioni: la prima è l'uso delle formule (consulta link).
Per questa prima volta ho modificato io (ho commesso qualche errore?), ma per le prossime volte prova ad usarlo. Renderai i tuoi messaggi molto più chiari e troverai più utenti disposti ad darti una mano (e comunque l'uso delle formule diventa obbligatorio dopo 30 messaggi).
La seconda raccomandazione è più importante: quando proponi un esercizio, abbi cura di proporre un tuo tentativo di risoluzione oppure di spiegare bene i tuoi dubbi, altrimenti diventa difficile anche per noi aiutarti. Ricordati che il forum non è un risolutore automatico di esercizi
Per qualsiasi altra informazione consulta il regolamento
Nel merito di questo esercizio, per provare che si tratta di due sottospazi puoi usare la definizione.
In particolare, devi verificare che la somma di due qualsiasi elementi di $F$ è ancora in $F$ e che il prodotto di un elemento di $F$ per uno scalare reale è ancora un elemento di $F$.
Sai farlo?
ok allora scusa per gli errori sono nuova del forum
Allora per la prima richiesta io ho provato a fare in questo modo ma non sono sicura se sia giusto.
1) $ B,CinF => A*B=B*A
$ A*C=C*A $
$ B+CinF => A*(B+C)=(B+C)*A $
Dim: $ A*(B+C)=A*B+A*C=B*A+C*A=(B+C)*A $
2) $ A*(lambda*B)=(lambda*B)*A $
è giusto?
"francyluna91":
1) $ B,CinF => A*B=B*A
$ A*C=C*A $
$ B+CinF => A*(B+C)=(B+C)*A $
Dim: $ A*(B+C)=A*B+A*C=B*A+C*A=(B+C)*A $
2) $ A*(lambda*B)=(lambda*B)*A $
è giusto?
Il punto 1) è giusto. Hai provato che, se $B,C$ sono matrici in $F$ allora anche $B+C$ è in $F$.
Il punto 2) deve essere chiarito un po'.
Sia $B\in F$ e $lambda\in RR$.
Allora si ha che $A*B=B*A$ (perchè $B in F$) quindi
$A*(lambda B)=lambda(A*B)=lambda(B*A)=(lambda B)*A$
cioè anche $lambda B\in F$.
Ora dovresti fare qualcosa di simile anche per $G$.
Poi, se ti va, mostraci ciò che hai fatto per completare l'esercizio.
Se ho tempo lo controllerò, altrimenti lo farò domani, se qualcun altro non l'ha fatto prima
PS Grazie per aver usato le formule!
"cirasa":
[quote="francyluna91"]1) $ B,CinF => A*B=B*A
$ A*C=C*A $
$ B+CinF => A*(B+C)=(B+C)*A $
Dim: $ A*(B+C)=A*B+A*C=B*A+C*A=(B+C)*A $
2) $ A*(lambda*B)=(lambda*B)*A $
è giusto?
Il punto 1) è giusto. Hai provato che, se $B,C$ sono matrici in $F$ allora anche $B+C$ è in $F$.
Il punto 2) deve essere chiarito un po'.
Sia $B\in F$ e $lambda\in RR$.
Allora si ha che $A*B=B*A$ (perchè $B in F$) quindi
$A*(lambda B)=lambda(A*B)=lambda(B*A)=(lambda B)*A$
cioè anche $lambda B\in F$.
Ora dovresti fare qualcosa di simile anche per $G$.
Poi, se ti va, mostraci ciò che hai fatto per completare l'esercizio.
Se ho tempo lo controllerò, altrimenti lo farò domani, se qualcun altro non l'ha fatto prima
PS Grazie per aver usato le formule![/quote]
No figurati se è regolamento, è regolamento
Allora per trovare la base faccio
$ ((6,-9),(4,-6))* ((a,b),(c,d))= ((a,b),(c,d))*((6,-9),(4,-6)) $
e risolvo il sistema lineare 4x4
per trovare le basi della somma e dell'intersezione considero i sottospazi generati dai vettori delle basi di F e G
$ Lf(((12,-9),(4,0)),((1,0),(0,1)) $
e
$ Lg (((0,9),(4,0)),((-1,3),(0,1)) $
per l'intersezione considero un vettore v appartenente al sottospazio F e a G
$ v=a*((12,-9),(4,0))+b*((1,0),(0,1)) $
$ v=c*((0,9),(4,0))+d*((-1,3),(0,1)) $
gli eguaglio e risolvo il sistema lineare
per la somma invece considero un unico sottospazio generato $ L(((12,-9),(4,0)),((1,0),(0,1)),((0,9),(4,0)),((-1,3),(0,1)) $ e dimostro quali sono linearmente indipendenti e quali no.
III) per dimostrare che $C $ appartiene a $ F+G $ devo dimostrare che F+G sia ancora di dimensione 3 giusto?
Invece per $C1 $ e $C2 $ non capisco che tipo di matrici devo scegliere se prendo delle matrici generiche non viene un sistema con troppe incognite?
Il procedimento per il calcolo di una base di $F$ è giusto (non ho controllato i calcoli però).
Ovviamente il discorso è analogo per il calcolo di una base di $G$.
Ok anche il procedimento per il calcolo di una base di $FnnG$ e $F+G$.
Il fatto che $F+G$ abbia dimensione 3 (se è così, non ho controllato) puoi ottenerlo dal punto II dato che lì hai calcolato una base di $F+G$.
Per capire il valore di $h$ per cui $C$ appartiene a $F+G$ puoi imporre che l'insieme formato dalle matrici di una base di $F+G$ e la matrice $C$ sia linearmente dipendente.
No, non credo.
Basta scrivere
$C=aF_1+bF_2+cG_1+dG_2$
dove $F_1,F_2$ è una base di $F$ e $G_1,G_2$ è una base di $G$ (hanno entrambi dimensione 2 giusto? Non ho controllato...).
Una volta trovati $a,b,c,d$ hai che
$C_1=aF_1+bF_2$ e $C_2=cG_1+dG_2$
Ovviamente il discorso è analogo per il calcolo di una base di $G$.
Ok anche il procedimento per il calcolo di una base di $FnnG$ e $F+G$.
"francyluna91":
III) per dimostrare che $C $ appartiene a $ F+G $ devo dimostrare che F+G sia ancora di dimensione 3 giusto?
Il fatto che $F+G$ abbia dimensione 3 (se è così, non ho controllato) puoi ottenerlo dal punto II dato che lì hai calcolato una base di $F+G$.
Per capire il valore di $h$ per cui $C$ appartiene a $F+G$ puoi imporre che l'insieme formato dalle matrici di una base di $F+G$ e la matrice $C$ sia linearmente dipendente.
"francyluna91":
Invece per $C_1 $ e $C_2 $ non capisco che tipo di matrici devo scegliere se prendo delle matrici generiche non viene un sistema con troppe incognite?
No, non credo.
Basta scrivere
$C=aF_1+bF_2+cG_1+dG_2$
dove $F_1,F_2$ è una base di $F$ e $G_1,G_2$ è una base di $G$ (hanno entrambi dimensione 2 giusto? Non ho controllato...).
Una volta trovati $a,b,c,d$ hai che
$C_1=aF_1+bF_2$ e $C_2=cG_1+dG_2$
"cirasa":
Il procedimento per il calcolo di una base di $F$ è giusto (non ho controllato i calcoli però).
Ovviamente il discorso è analogo per il calcolo di una base di $G$.
Ok anche il procedimento per il calcolo di una base di $FnnG$ e $F+G$.
[quote="francyluna91"]
III) per dimostrare che $C $ appartiene a $ F+G $ devo dimostrare che F+G sia ancora di dimensione 3 giusto?
Il fatto che $F+G$ abbia dimensione 3 (se è così, non ho controllato) puoi ottenerlo dal punto II dato che lì hai calcolato una base di $F+G$.
Per capire il valore di $h$ per cui $C$ appartiene a $F+G$ puoi imporre che l'insieme formato dalle matrici di una base di $F+G$ e la matrice $C$ sia linearmente dipendente.
"francyluna91":
Invece per $C_1 $ e $C_2 $ non capisco che tipo di matrici devo scegliere se prendo delle matrici generiche non viene un sistema con troppe incognite?
No, non credo.
Basta scrivere
$C=aF_1+bF_2+cG_1+dG_2$
dove $F_1,F_2$ è una base di $F$ e $G_1,G_2$ è una base di $G$ (hanno entrambi dimensione 2 giusto? Non ho controllato...).
Una volta trovati $a,b,c,d$ hai che
$C_1=aF_1+bF_2$ e $C_2=cG_1+dG_2$[/quote]
ok grazie mille
Prego
Per le prossime volte, quando rispondi non è necessario riportare l'intervento precedente.
Fallo solo quando vuoi citare alcune frasi del tuo interlocutore.
Per evitare di riportare la risposta precedente, clicca su "Rispondi" (è un bottone sotto l'ultimo messaggio del thread) e non su "Riporta".
Alla prossima
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