Sottospazi vettoriali

[herrdoktor]

Potete aiutarmi con questo esercizio?

Si riconosca che sono spazi vettoriali di $R^3$:
$W1 = {(a,2a,3a)|a€R}$, $W2 = {(a,b,c)|a,b,c€R, a+2b+3c=0}$

Si riconosca che non sono spazi vettoriali di $R^3$:
${(a,b,a^2)|a,b€R}$ , ${(a,1+a,a-b)|a,b€R}$

Grazie a tutti

[sigma1]

Entrambi dovranno essere chiusi rispetto alle operazioni di:

1) somma, cioe' $AA w_{1}, w_{2} in W1, rArr w_{1}+w_{2} in W1$

2) prodotto per scalare, cioe' $AA w in W1, AA k in R rArr kw in W1$

Considera allora W1. Questo e’ costituito dalle ennuple (a, 2a, 3a) , $a in R$

Siccome $(a, 2a, 3a) + (b, 2b, 3b) = (a+b, 2(a+b), 3(a+b)) in W1$ la 1) e’ verificata

Siccome $(ka, 2ka, 3ka) in W1$ allora anche 2) e’ verificata

Quindi W1 e’ un sottospazio.

Fai lo stesso ragionamento (vale a dire definisci la ennupla, fai le operazioni somma e prodotto per scalare e vedi se i risultati sono in W) per gli altri sottoinsiemi per verificare se sono sottospazi oppure no.

[herrdoktor]

Grazie sigma.
Ma a me risulta sottospazio anche quell'altro
${(a,b,a^2)|a,b€R}$
Se faccio $w1=(a,b,a^2)+w2=(b,c,b^2)$ allora $w1+w2=(a+b,b+c,a^2+b^2)$ che sta in W (?)
e se moltiplicalndo per uno scalare abbiamo $(ka+kb+ka^2)$ che sta in W (?)

HELP

[sigma1]

Eh no.

Dovresti fare:

$(a, b, a^2) + (a’, b’, a’^2) = (a+a’, b+b’, a^2 + a’^2)

Vedi subito che il terzo elemento del vettore risultante non corrisponde a cio’ che vorresti, vale a dire:

$a^2 + a’^2 != (a+a’)^2$

Quindi la condizione non e’ verificata e W’ non e’ un sottospazio

[herrdoktor]

Grazie sigma!