Sottospazi vettoriali
Buonasera a tutti, sto studiando il capitolo di algebra relativo a sottospazi/basi/dimensione e mi sono imbattuto in questa definizione, data dal mio prof:
"Sia $\vec u in RR$, con $\vec u!=\vec 0$. Allora il sottospazio vettoriale $V=\vec (u^(\bot))={\vec v in RR^n:\vec u*\vec v=0}$ ha dimensione pari a $n-1$".
Qualcuno mi potrebbe dire come si legge la parte $V=\vec u^(\bot)$ e soprattutto, cosa sta a significare?
So che dalla dicitura $\vec u*\vec v=0$ si evince che i due vettori $\vec u$ e $\vec v$ sono perpendicolari, ma non capisco come contestualizzare la situazione
"Sia $\vec u in RR$, con $\vec u!=\vec 0$. Allora il sottospazio vettoriale $V=\vec (u^(\bot))={\vec v in RR^n:\vec u*\vec v=0}$ ha dimensione pari a $n-1$".
Qualcuno mi potrebbe dire come si legge la parte $V=\vec u^(\bot)$ e soprattutto, cosa sta a significare?
So che dalla dicitura $\vec u*\vec v=0$ si evince che i due vettori $\vec u$ e $\vec v$ sono perpendicolari, ma non capisco come contestualizzare la situazione
Risposte
Credo che, nella definizione data dal tuo prof., la dicitura $\vec{u}_\bot$ sia, appunto, solo una dicitura, ad indicare l'insieme di tutti i vettori perpendicolari al tuo $\vec{u} \in \mathbb{R}^n$, data per motivo di chiarezza (fuori contesto, dire semplicemente $V$ non sarebbe molto esplicativo).
"Geometricamente" potrai anche evincere che le due freccette che rappresentano $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono perpendicolari tra loro, ma tieni presente che, per definizione, dati due vettori $\vec{u}$, $\vec{v}$ di un qualsiasi spazio vettoriale in cui sia definito un prodotto scalare $\cdot$, essi si dicono ""perpendicolari"" se e solo se $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$; questo è quello che corrisponde alla tua intuizione geometrica di "perpendicolare" in $\mathbb{R}^n$.
Credo che tu intendessi dire $\vec{u} \in \mathbb{R}^n$. Consideriamo infatti l'applicazione lineare $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $\vec{v} \mapsto \vec{u} \cdot \vec{v}$. Lascio a te verificare che $F$ è 1) ben definita 2) lineare. Allora, il nostro insieme $\vec{u}_\bot$ coincide con $\mbox{Ker } F$. Tu sai che[nota]click[/nota] $\dim \mathbb{R}^n = \dim \mbox{Ker } F + \dim \mathbb{R}$, ergo, $dim \vec{u}_\bot = n-1$.
"Fabbioo":
So che dalla dicitura $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ si evince che i due vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono perpendicolari, ma non capisco come contestualizzare la situazione
"Geometricamente" potrai anche evincere che le due freccette che rappresentano $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono perpendicolari tra loro, ma tieni presente che, per definizione, dati due vettori $\vec{u}$, $\vec{v}$ di un qualsiasi spazio vettoriale in cui sia definito un prodotto scalare $\cdot$, essi si dicono ""perpendicolari"" se e solo se $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$; questo è quello che corrisponde alla tua intuizione geometrica di "perpendicolare" in $\mathbb{R}^n$.
"Fabbioo":
Sia $vec{u} \in \mathbb{R}$, $\vec{u} \ne 0$. Il sottospazio vettoriale $V = \vec{u}_\bot = {\vec{v} \in \mathbb{R}^n : \vec{u} \cdot \vec{v} = 0}$ ha dimensione pari a $n-1$
Credo che tu intendessi dire $\vec{u} \in \mathbb{R}^n$. Consideriamo infatti l'applicazione lineare $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $\vec{v} \mapsto \vec{u} \cdot \vec{v}$. Lascio a te verificare che $F$ è 1) ben definita 2) lineare. Allora, il nostro insieme $\vec{u}_\bot$ coincide con $\mbox{Ker } F$. Tu sai che[nota]click[/nota] $\dim \mathbb{R}^n = \dim \mbox{Ker } F + \dim \mathbb{R}$, ergo, $dim \vec{u}_\bot = n-1$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo