Sottospazi vettoriali
Buonasera mi servirebbe una mano per capire come risolvere questo esercizio.
Ho un sottospazio vettoriale V di R^4 generato dai seguenti vettori V1=(2,4,3,-1) e V2 =(0,2,-1,-3) e W={(x,y,z,t):3x-y+2z+t} Devo calcolare la dimensione e una base per l'intersezione di V e W e di V+W.
R4 ha dimensione 4 mentre il vettore V ha dimensione 2.
Calcolo il vettore generico che è uguale a (2h; 4h+2k; 3h-k; -h-3k).
Come posso passare dall'equazione cartesiana di W al vettore generico e di conseguenza calcolarne la dimensione ? Grazie per l'aiuto
Ho un sottospazio vettoriale V di R^4 generato dai seguenti vettori V1=(2,4,3,-1) e V2 =(0,2,-1,-3) e W={(x,y,z,t):3x-y+2z+t} Devo calcolare la dimensione e una base per l'intersezione di V e W e di V+W.
R4 ha dimensione 4 mentre il vettore V ha dimensione 2.
Calcolo il vettore generico che è uguale a (2h; 4h+2k; 3h-k; -h-3k).
Come posso passare dall'equazione cartesiana di W al vettore generico e di conseguenza calcolarne la dimensione ? Grazie per l'aiuto
Risposte
Ciao,
la sezione è sbagliata, avresti dovuto pubblicare la tua domanda sulla sezione di Algebra Lineare.
Inoltre dire che il vettore $V$ ha dimensione $2$ non ha senso ed è poco chiaro cosa intendi per $V$. Intendi il sottospazio vettoriale generato da $v_1,v_2 e w$ oppure solo da $v_1,v_2$ ?
Si dovrebbe dire, in ogni caso, che il sottospazio ha dimensione $2$, non un vettore. E' proprio un errore concettuale, visto che la dimensione altro non è che la cardinalità di una base. Sembro pedante, ma aiuta a capire fino in fondo ciò con cui hai a che fare
Una volta chiarito questo mi è più facile darti una mano.
Ad ogni modo, se possiedi un sottospazio definito per equazione cartesiana, per riuscire a trovare dei generatori puoi risolvere il sistema omogeneo e ricavarti un sistema di generatori. A proposito, la tua definizione di $W$ non ha molto senso: mi stai dicendo che è formato dalla quaterna $(x,y,z,t)$ tali che...cosa? Probabilmente volevi scrivere: $W={(x,y,z,t):3x-y+2z+t=0}$. Ora è chiaro il perché vada risolto un sistema omogeneo per ricavare i generatori.
la sezione è sbagliata, avresti dovuto pubblicare la tua domanda sulla sezione di Algebra Lineare.
Inoltre dire che il vettore $V$ ha dimensione $2$ non ha senso ed è poco chiaro cosa intendi per $V$. Intendi il sottospazio vettoriale generato da $v_1,v_2 e w$ oppure solo da $v_1,v_2$ ?
Si dovrebbe dire, in ogni caso, che il sottospazio ha dimensione $2$, non un vettore. E' proprio un errore concettuale, visto che la dimensione altro non è che la cardinalità di una base. Sembro pedante, ma aiuta a capire fino in fondo ciò con cui hai a che fare
Una volta chiarito questo mi è più facile darti una mano.
Ad ogni modo, se possiedi un sottospazio definito per equazione cartesiana, per riuscire a trovare dei generatori puoi risolvere il sistema omogeneo e ricavarti un sistema di generatori. A proposito, la tua definizione di $W$ non ha molto senso: mi stai dicendo che è formato dalla quaterna $(x,y,z,t)$ tali che...cosa? Probabilmente volevi scrivere: $W={(x,y,z,t):3x-y+2z+t=0}$. Ora è chiaro il perché vada risolto un sistema omogeneo per ricavare i generatori.
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
Grazie Feddy per la risposta, in effetti ho sbagliato a esprimermi non avendo nemmeno riletto il messaggio prima di inviarlo. Ovviamente mi riferivo al sottospazio vettoriale quando parlo di dimensione = 2. Così come è corretta la tua definizione di W.
Il mio problema è come trovare una base per il sottospazio definito da una singola equazione cartesiana. La dimensione del sottospazio W dovrebbe essere 3, ma non capisco come determinare il vettore generico.
Scusami Vict85 per aver aperto il topic nella sezione sbagliata.
Il mio problema è come trovare una base per il sottospazio definito da una singola equazione cartesiana. La dimensione del sottospazio W dovrebbe essere 3, ma non capisco come determinare il vettore generico.
Scusami Vict85 per aver aperto il topic nella sezione sbagliata.
Per esempio se pongo 3 delle quattro incognite dell'equazione il ruolo di parametro, quindi x=a, z=b e t=c, ottengo y=3x+2z+t=3a+2b+c Quindi il generico vettore del sottospazio dovrebbe avere la seguente forma (a; 3a+2b+c;b;c) e la combinazione lineare sarebbe la seguente a(1,3,00) b(0,2,1,0) c(0101) è corretto ?
"Quasar3.14":
[...], quindi x=a, z=b e t=c, ottengo y=3x+2z+t=3a+2b+c Quindi il generico vettore del sottospazio dovrebbe avere la seguente forma (a; 3a+2b+c;b;c) e la combinazione lineare sarebbe la seguente a(1,3,00) b(0,2,1,0) c(0101) è corretto ?
Il modo in cui hai ricavato il generico vettore è corretto. Però nella conclusione c'è ancora un po' di imprecisone: quella non è una combinazione lineare. La combinazione lineare è questa cosa: $((a),(3a+2b+c),(b),(c))=a((1),(3),(0),(0))+ b((0),(2),(1),(0))+ c((0),(1),(0),(1))$, non quella che hai scritto tu. Ad ogni modo, ci sei: questo sottospazio ha dimensione $3$, perché una sua base è data da quei tre vettori. Ora puoi provare a risolvere l'esercizio
Ho provato a risolvere tutto l'esercizio. Ricopio in questo post anche i passaggi precedenti in modo che sia più facile per chi legge notare eventuali errori o imprecisioni.
Il problema è il seguente Ho un sottospazio vettoriale V di R^4 generato dai seguenti vettori V1=(2,4,3,-1) e V2 =(0,2,-1,-3) e W={(x,y,z,t):3x-y+2z+t=0} Devo calcolare la dimensione e una base per l'intersezione di V e W e di V+W.
La dimensione di R^4 è 4 mentre la dimensione del sottospazio vettoriale V è 2 e il suo vettore generico è il seguente
$ [[2h], [4h+2k], [3h-k], [-h-3k]] $ $ = $ $ h $ $ [[2], [4], [3], [-1]] $ $ k $ $[[0], [2], [-1], [-3]] $
Per quanto riguarda W il suo vettore generico e una sua base sono i seguenti
$ ((a),(3a+2b+c),(b),(c))=a((1),(3),(0),(0))+ b((0),(2),(1),(0))+ c((0),(1),(0),(1)) $
Ora l'esercizio mi chiede di trovare la dimensione e una base per l'intersezione el a soamma.
Per calcolare l'intersezione metto a sistema il generico vettore di V e quello di W e ottengo
(ho scritto il sistema tra parentesi solo per motivi di ordine e per rendere maggiormente chiaro e leggibile il post)
$ ((2h = a), (4h+2k = 3a +2b +c), (3h-k=b), (-h-3k=c)) $
Cerco una relazione tra h e k all'interno del sistema e dopo una serie di calcoli mi trovo con $ h = k $
Ora sostiuisco ad $ h $ $ k $ all'interno del generico vettore di V $ [[2h], [4h+2k], [3h-k], [-h-3k]] $ e ho come risultato
$ [[2k], [6k], [2k], [-4k]] $, di conseguenza la base dell'intersezione tra i due vettori è $ [[2], [6], [2], [-4]] $
Quindi l'intersezione ha dimensione 1.
Applico la formula di Grassman per il calcolo della dimensione della somma 2+2-1=3 E completo la base della somma prendendo un vettore di V e uno di W.
è tutto corretto ? Grazie ancora per l'aiuto
Il problema è il seguente Ho un sottospazio vettoriale V di R^4 generato dai seguenti vettori V1=(2,4,3,-1) e V2 =(0,2,-1,-3) e W={(x,y,z,t):3x-y+2z+t=0} Devo calcolare la dimensione e una base per l'intersezione di V e W e di V+W.
La dimensione di R^4 è 4 mentre la dimensione del sottospazio vettoriale V è 2 e il suo vettore generico è il seguente
$ [[2h], [4h+2k], [3h-k], [-h-3k]] $ $ = $ $ h $ $ [[2], [4], [3], [-1]] $ $ k $ $[[0], [2], [-1], [-3]] $
Per quanto riguarda W il suo vettore generico e una sua base sono i seguenti
$ ((a),(3a+2b+c),(b),(c))=a((1),(3),(0),(0))+ b((0),(2),(1),(0))+ c((0),(1),(0),(1)) $
Ora l'esercizio mi chiede di trovare la dimensione e una base per l'intersezione el a soamma.
Per calcolare l'intersezione metto a sistema il generico vettore di V e quello di W e ottengo
(ho scritto il sistema tra parentesi solo per motivi di ordine e per rendere maggiormente chiaro e leggibile il post)
$ ((2h = a), (4h+2k = 3a +2b +c), (3h-k=b), (-h-3k=c)) $
Cerco una relazione tra h e k all'interno del sistema e dopo una serie di calcoli mi trovo con $ h = k $
Ora sostiuisco ad $ h $ $ k $ all'interno del generico vettore di V $ [[2h], [4h+2k], [3h-k], [-h-3k]] $ e ho come risultato
$ [[2k], [6k], [2k], [-4k]] $, di conseguenza la base dell'intersezione tra i due vettori è $ [[2], [6], [2], [-4]] $
Quindi l'intersezione ha dimensione 1.
Applico la formula di Grassman per il calcolo della dimensione della somma 2+2-1=3 E completo la base della somma prendendo un vettore di V e uno di W.
è tutto corretto ? Grazie ancora per l'aiuto
Non ho fatto i conti, ma i procedimenti (per esempio l'intersezione) sono corretti. Tuttavia, alla fine c'è qualcosa che non mi torna: $dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(VcapW)$.
Quindi $dim(V+W)=2+3-1=4$, non $3$.
Per trovare la base della somma è facilissimo: prendi i vettori di $V$ e quelli di $W$ ed estraine una base.
Quindi $dim(V+W)=2+3-1=4$, non $3$.
Per trovare la base della somma è facilissimo: prendi i vettori di $V$ e quelli di $W$ ed estraine una base.
"feddy":
Per trovare la base della somma è facilissimo: prendi i vettori di $V$ e quelli di $W$ ed estraine una base.
Ti ringrazio nuovamente per l'aiuto datomi. Ho un'ultima domanda, per completare la base della somma devo prendere i vettori di V e di W poiché me ne servono 3, come devo sceglierli ? Nel senso 1 di V e 2 di W o è indifferente ?
No. Fai l'unione delle due basi: $B_V cup B_W={v_1,v_2,w_1,w_2,w_3}$. Poi estrai una base.
"feddy":
No. Fai l'unione delle due basi: $B_V cup B_W={v_1,v_2,w_1,w_2,w_3}$. Poi estrai una base.
Capito, quindi essendo una base di W composta da $((1),(3),(0),(0)) ((0),(2),(1),(0)) ((0),(1),(0),(1))$ e una di V composta da $ [[2], [4], [3], [-1]] $ $ $ $ [[0], [2], [-1], [-3]] $ e poiché nessun vettore è multiplo di un altro, 4 vettori qualsiasi vanno bene, è corretto ?
Ti rinnovo i miei ringraziamenti per avermi aiutato, mi sei stato di grande aiuto. Grazie
"Quasar3.14":
Capito, quindi essendo una base di W composta da $((1),(3),(0),(0)) ((0),(2),(1),(0)) ((0),(1),(0),(1))$ e una di V composta da $ [[2], [4], [3], [-1]] $ $ $ $ [[0], [2], [-1], [-3]] $ e poiché nessun vettore è multiplo di un altro, 4 vettori qualsiasi linearmente indipendenti vanno bene, è corretto ?
Occhio alla correzione. Questo ti basta per dire che quella è una base, per un noto corollario del lemma di Steinitz o (lemma dello scambio), che afferma che in uno spazio vettoriale di dimensione $n$, $n$ vettori linearmente indipendenti formano una base.
Dimenticavo, un'altro corollario di Steinitz è che, sempre in uno sp. vettoriale $n$-dimensionale, $n+1$ vettori sono sempre linearmente dipendenti.
Quindi quando scrivi
Ciò è equivalente a risolvere un semplice sistemino, prova tu stesso.
Quindi quando scrivi
"Quasar3.14":stai sbagliando, perché dovrai riuscire a trovare una combinazione $sum_i alpha_i u_i$ con $0
poiché nessun vettore è multiplo di un altro
Ciò è equivalente a risolvere un semplice sistemino, prova tu stesso.
Ok, ma quindi posso scegliere una combinazione di questi vettori e creare una matrice che se avrà rango massimo vorrà dire che i quattro vettori scelti sono linearmente indipendenti.
Se scegli $4$ vettori e la matrice che ha per colonne tali vettori ha rango massimo, allora questi sono linearmente indipendenti. La parte sulla combinazione lineare te l'ho detta per farti capire che $5$ vettori non vanno bene. Ci sei?
Cercando tra i vari topic ho trovato questo post dove ho riscritto qualche corollario con annessa dimostrazione. Spero possa esserti utile. Ciao
"feddy":
Cercando tra i vari topic ho trovato questo post dove ho riscritto qualche corollario con annessa dimostrazione. Spero possa esserti utile. Ciao
Grazie gli do subito un'occhiata.
Fammi sapere, ciao
Chi sa fare i limiti può scrivermi ?
[xdom="gugo82"]Mi sa che è meglio se vai a studiare.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Mi sa che è meglio se vai a studiare.[/xdom]
Innanzitutto comincia a non scrivere nel post degli altri se non è necessario Forse è meglio se dai una letta al regolamento
Forse è meglio se dai una letta al regolamento
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