Sottospazi vettoriali

[maria601]

Dati i sottospazi : W di $ R^4 W = x,y , z,t : x-3y+z-2t=2x +2y.z+t =0 $ e V genetato dai vettori $ (-1,2,-1,-4) ( 1,1,6,2) $ come si calcola la dimensione e una base di V $nn$ W ? Potreste indicarmi il procedimento ? non saprei da dove cominciare.

[minomic]

"maria60":Dati i sottospazi : W di $ R^4 W = x,y , z,t : x-3y+z-2t=2x +2y.z+t =0 $

C'è un punto al posto di un simbolo.

Comunque il procedimento è il seguente:
* trovi una base di $W$
* trovi una base di $V$
* le affianchi e trovi una matrice $M$
* calcoli la dimensione di $W \cup V$ individuando il rango di $M$
* calcoli la dimensione dell'intersezione con la formula di Grassman $$\dim \left(V\cup W\right) = \dim V + \dim W - \dim\left(V \cap W\right)$$ La base dell'intersezione la vediamo poi.

[garnak.olegovitc1]

@maria60,

"maria60":Dati i sottospazi : W di $ R^4 W = x,y , z,t : x-3y+z-2t=2x +2y.z+t =0 $ e V genetato dai vettori $ (-1,2,-1,-4) ( 1,1,6,2) $ come si calcola la dimensione e una base di V $nn$ W ? Potreste indicarmi il procedimento ? non saprei da dove cominciare.

nn è difficile, un tuo tentativo almeno! Intanto vedi che \( V \) è generato da due vettori, se sono liberi allora formano una base per \( V \) e la \( \dim(V)=2 \).. poi, dovresti dirci almeno cosa vi è al posto del punto:

"maria60":
W di $ R^4 W = x,y , z,t : x-3y+z-2t=2x +2y.z+t =0 $

e cmq, qualsiasi cosa vi sia... è facile capire che i vettori di \( W \) soddisfano quelle "equazioni lineari" (sono anche dette "cartesiane").. sei in grado di trovare le soluzioni del sistema aventi quelle due equazioni lineari a variabili \( x,y,z,t \)? Spero di si!

Facci sapere!

Saluti

[maria601]

al posto del punto c'è meno, per trovare una soluzione del sistema devo considerare z e t variabili indipendenti ?

[minomic]

Proprio questa mattina ho scritto un post (piuttosto consistente) sull'intersezione tra sottospazi vettoriali che ti invito a leggere: link.

[maria601]

la prima parte mi è chiara, per trovare cioè la dimensione, ma per trovare la base moltiplichi Bs per quale vettore ? non sono riuscita a capire il simbolo dopo Bs o BT, sono arrugginita.....

[minomic]

E' un vettore di generici coefficienti. Ricorda che un elemento di un sottospazio è dato da una combinazione lineare degli elementi di una base del sottospazio.

[maria601]

Mi potresti spiegare inoltre come si trova la dimensione e una base dello spazio ortogonale a W ?

[minomic]

Ciao, allora per prima cosa devi trovare una base di $W$ risolvendo quel sistema come ti è stato detto. Una possibile base è formata dai vettori \[\begin{bmatrix}1\\3\\8\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-5\\0\\8\end{bmatrix}\] Quindi la dimensione di $W$ è pari a $2$. Ora la dimensione del suo ortogonale è pari alla differenza tra la massima dimensione del sottospazio e quella di $W$, cioè \[\dim W^{\bot} = \dim \mathbb{R}^4-\dim W = 4-2=2\] Per trovare una base di \(W^{\bot}\) possiamo procedere secondo la definizione: prendiamo un generico vettore \(\begin{bmatrix}a&b&c&d\end{bmatrix}^{T}\) e imponiamo che sia ortogonale ai due vettori della base di $W$, cioè che il prodotto scalare sia nullo. Quindi \[\begin{cases}a+3b+8c=0 \\ a-5b+8d=0\end{cases}\] Risolvendo trovi che una possibile base del sottospazio delle soluzioni, e quindi di \(W^{\bot}\), è data dai vettori \[\begin{bmatrix}5\\1\\-1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\8\\-3\\5\end{bmatrix}\]