Sottospazi Vettoriali
dati i seguenti insiemi:
$U1={a+bx+cx2+dx3inR3[x]t.c.a+c−b=0,a+d−c=0}$
$U2={p(x)inR3[x]t.c.p(3)=p(−3)}$
Verificare che siano sottospazi vettorili, determinare inoltre una base di U1 e una base di $U2$. Completare la base di $U1$ e la base di $U2$ a base di $R3[x]$. Determinare $U1 ∩ U2$ e $U1+U2$. Determinare un sottospazio supplementare di $U1 ∩ U2$.
Questo è un esercizio che ho trovate all'ultimo esame di geometria e non sono riuscito a risolverlo. Spero gentilmente di ricevere un vostro aiuto. Ringrazio anticipatamente chiunque mi dia una mano. So quali sono le condizioni per un sottoinsieme essere un sottospazio ma non capisco come applicarle, sopratutto nel secondo sottoinsieme, ho capito che devo andare a sostituire 3 e -3 al polinomio caratteristico di R3[x] ma non so come continuare.. Grazie ancora.
$U1={a+bx+cx2+dx3inR3[x]t.c.a+c−b=0,a+d−c=0}$
$U2={p(x)inR3[x]t.c.p(3)=p(−3)}$
Verificare che siano sottospazi vettorili, determinare inoltre una base di U1 e una base di $U2$. Completare la base di $U1$ e la base di $U2$ a base di $R3[x]$. Determinare $U1 ∩ U2$ e $U1+U2$. Determinare un sottospazio supplementare di $U1 ∩ U2$.
Questo è un esercizio che ho trovate all'ultimo esame di geometria e non sono riuscito a risolverlo. Spero gentilmente di ricevere un vostro aiuto. Ringrazio anticipatamente chiunque mi dia una mano. So quali sono le condizioni per un sottoinsieme essere un sottospazio ma non capisco come applicarle, sopratutto nel secondo sottoinsieme, ho capito che devo andare a sostituire 3 e -3 al polinomio caratteristico di R3[x] ma non so come continuare.. Grazie ancora.
Risposte
Nella seconda base ti viene chiesto che il polinomio sia simmetrico rispetto all'asse y.
Ovvero che sia una funzione pari, ovvero che dia lo stesso risultato per $x$ e per $-x$.
Prendi i termini del polinomio singolarmente: $1$, $x$, $x^2$, $x^3$. Quali sono quelli che hanno quelle proprietà ?
Es: prendiamo $x$. Se penso a $y=x$ vedo subito che è la bisettrice del I° e III° Q.
E' una funzione pari ? Direi di no.
E simmetrica rispetto all'asse $y$ ? Direi di no.
E' vero che con $x=3$ e $x=-3$ la $y$ è la stessa ? No perchè in un caso $y=3$ e nell'altro $y=-3$....
Ovvero che sia una funzione pari, ovvero che dia lo stesso risultato per $x$ e per $-x$.
Prendi i termini del polinomio singolarmente: $1$, $x$, $x^2$, $x^3$. Quali sono quelli che hanno quelle proprietà ?
Es: prendiamo $x$. Se penso a $y=x$ vedo subito che è la bisettrice del I° e III° Q.
E' una funzione pari ? Direi di no.
E simmetrica rispetto all'asse $y$ ? Direi di no.
E' vero che con $x=3$ e $x=-3$ la $y$ è la stessa ? No perchè in un caso $y=3$ e nell'altro $y=-3$....
Io ti ringrazio a prescindere per il tempo che hai utilizzato per la spiegazione.. ma a cosa mi serve sapere se è bisettrice o no?? Io ho quel sottoinsieme e devo verificare che sia un sottospazio ... e le regole di verifica di un sottospazio sono due: che
$v1+v2$ appartenga al sottoinsieme e che $a*v1$ con $a$ un generico scalare di $R$ , appartenga anch'esso al sottoinsieme... io avevo ipotizzato che avendo il generico polinomio $a+bx+cx^2+dx^3$ , andavo a sostituire ai coefficienti della $X$ prima il valore $3$ e poi il $-3$ ottenendo dopo le semplificazioni: $b+6d=0$ e ora come continuo ???? Applico la sostituzione ????
$v1+v2$ appartenga al sottoinsieme e che $a*v1$ con $a$ un generico scalare di $R$ , appartenga anch'esso al sottoinsieme... io avevo ipotizzato che avendo il generico polinomio $a+bx+cx^2+dx^3$ , andavo a sostituire ai coefficienti della $X$ prima il valore $3$ e poi il $-3$ ottenendo dopo le semplificazioni: $b+6d=0$ e ora come continuo ???? Applico la sostituzione ????
Per $U_1$ hai le relazioni :
$b=c+a,d=c-a$
e quindi i polinomi di $U_1$ sono del tipo:
$p(x)=a+(c+a)x+cx^2+(c-a)x^3$
Questi polinomi hanno la caratteristica che il coefficiente della $x$ è la somma del coefficiente
della $x^2$ col termine noto mentre il coefficiente di $x^3$ è la differenza di quegli stessi coefficienti.
Pertanto la verifica di sottospazio vettoriale la puoi fare indagando se $k cdot p(x) $ e $p(x)+p'(x)$ hanno o meno quella caratteristica. Ora, posto $ p'(x)= a'+(c'+a')x+c'x^2+(c'-a')x^3 $, risulta :
$k cdot p(x)=k cdot (a+(c+a)x+cx^2+(c-a)x^3)=ak+(ck+ak)x+ckx^2+(ck-ak)x^3$
$p(x)+p'(x)=[a+(c+a)x+cx^2+(c-a)x^3]+[a'+(c'+a')x+c'x^2+(c'-a')x^3]=$
$=(a+a')+(c+a+c'+a')x+(c+c')x^2+(c+c'-a-a')x^3$
ed è facile vedere che quella caratteristica si è conservata nel moltiplicare p(x) per lo scalare k e nel sommare due polinomi p(x) e p'(x) di quel tipo. Per ricavare una base di $U_1$ comincio coll'osservare che i polinomi p (x) contengono solo due parametri liberi: a, c e quindi $dim(U_1)=2$ . Pertanto servono due polinomi p(x) che si possono ricavare dando ai parametri a,c due coppie di valori. Per esempio :
1) a=0,c=1 a cui corrisponde il polinomio $x+x^2+x^3$
2) a=1,c=0 a cui corrisponde il polinomio $1+x-x^3$
In conclusione la base richiesta può essere ${x+x^2+x^3,1+x-x^3}$
C'è un altro modo per risolvere la questione ma quello che ho indicato mi sembra il più accessibile.
Prova te a ragionare sul resto : qualche indicazione in più ora ce l'hai...
$b=c+a,d=c-a$
e quindi i polinomi di $U_1$ sono del tipo:
$p(x)=a+(c+a)x+cx^2+(c-a)x^3$
Questi polinomi hanno la caratteristica che il coefficiente della $x$ è la somma del coefficiente
della $x^2$ col termine noto mentre il coefficiente di $x^3$ è la differenza di quegli stessi coefficienti.
Pertanto la verifica di sottospazio vettoriale la puoi fare indagando se $k cdot p(x) $ e $p(x)+p'(x)$ hanno o meno quella caratteristica. Ora, posto $ p'(x)= a'+(c'+a')x+c'x^2+(c'-a')x^3 $, risulta :
$k cdot p(x)=k cdot (a+(c+a)x+cx^2+(c-a)x^3)=ak+(ck+ak)x+ckx^2+(ck-ak)x^3$
$p(x)+p'(x)=[a+(c+a)x+cx^2+(c-a)x^3]+[a'+(c'+a')x+c'x^2+(c'-a')x^3]=$
$=(a+a')+(c+a+c'+a')x+(c+c')x^2+(c+c'-a-a')x^3$
ed è facile vedere che quella caratteristica si è conservata nel moltiplicare p(x) per lo scalare k e nel sommare due polinomi p(x) e p'(x) di quel tipo. Per ricavare una base di $U_1$ comincio coll'osservare che i polinomi p (x) contengono solo due parametri liberi: a, c e quindi $dim(U_1)=2$ . Pertanto servono due polinomi p(x) che si possono ricavare dando ai parametri a,c due coppie di valori. Per esempio :
1) a=0,c=1 a cui corrisponde il polinomio $x+x^2+x^3$
2) a=1,c=0 a cui corrisponde il polinomio $1+x-x^3$
In conclusione la base richiesta può essere ${x+x^2+x^3,1+x-x^3}$
C'è un altro modo per risolvere la questione ma quello che ho indicato mi sembra il più accessibile.
Prova te a ragionare sul resto : qualche indicazione in più ora ce l'hai...
Sei stato chiarissimo... Adesso il tutto mi è più chiaro. Quindi per la seconda base mi basta procedere allo stesso modo andando a sostituire alla $x$ $3$ e $-3$ cioè $p(3)=p(-3)$ ottenendo cosi:
$a-3b+9c+27d=a-3b+9c-27d$ che una volta fatte le giuste semplificazioni si ottiene :
$6b+54d=0$ cioè $b=-9d$ ora questo valore ottenuto lo vado a sostituire nel polinomio generale di $R3$ ottenendo:
$p(x)=a-9dx+cx^2+dx^3$ che è uguale a $p(x)=a+cx^2+d(x^3-9x)$ una volta ottenuto questo polinomio posso applicare le condizioni di sottospazio vettoriale e verificare.
Quindi $U2$ è il sottospazio generato dai polinomi $[1, x^2 ,x^3-9x]$ che essendo Linearmente Indipendenti, formano una base di $U2$ ... ho fatto qualche errore???
$a-3b+9c+27d=a-3b+9c-27d$ che una volta fatte le giuste semplificazioni si ottiene :
$6b+54d=0$ cioè $b=-9d$ ora questo valore ottenuto lo vado a sostituire nel polinomio generale di $R3$ ottenendo:
$p(x)=a-9dx+cx^2+dx^3$ che è uguale a $p(x)=a+cx^2+d(x^3-9x)$ una volta ottenuto questo polinomio posso applicare le condizioni di sottospazio vettoriale e verificare.
Quindi $U2$ è il sottospazio generato dai polinomi $[1, x^2 ,x^3-9x]$ che essendo Linearmente Indipendenti, formano una base di $U2$ ... ho fatto qualche errore???
Non vedo errori tranne per il fatto che la relazione $P(3)=P(-3)$ andrebbe scritta così:
$a+3b+9c+27d=a-3b+9c-27d$
Si vede che di tratta solo di una svista perché alla fine il risultato è giusto : $b=-9d$
$a+3b+9c+27d=a-3b+9c-27d$
Si vede che di tratta solo di una svista perché alla fine il risultato è giusto : $b=-9d$
Avrei un'altra domanda da fare... ma se devo fare l'intersezione tra i sottospazi.. devo mettere a sistema i polinomi ottenuti e porli uguali a zero??? e poi ???? E per quanto riguarda il secondo sottospazio ottengo come polinomio anche $1$ .. come procedo in questo caso?? sono un po confuso?? Devo utilizzare le matrici??
Devi fare un sottospazio intersezione $U1TU2$ che contegna il polinomio generico di $R3[x]$ con le condizioni di entrambi i due sottospazi $U1$ e $U2$ (perchè l' intersezione dovrà "soddisfare" entrambe le loro richieste) e ti trovi una base come ti hanno mostrato gli altri. Tenendo conto della relazione dimensionale di Grassmann ti sarà facile capire poi la dimensione del sottospazio somma, così saprai cosa aspettarti.
Ma la somma dei sottospazi.. è semplicemente i polinomi del primo sottospazio e quelli de secondo???
Sì, è la semplice somma, ma sta attento alla dimensione del sottospazio somma. Dovrà essere quella data dalla relazione dimensionale. Se li sommi ti viene un sottospazio con 5 vettori(2 vettori+3vettori),ovvero $dimU1+dimU2=2+3=5$. Questo che ti sei trovato non è ancora il sottospazio somma. Se applichi la relazione dimensionale di grassmann ti dice che la dimensione è 4 , perchè hai $dim(U1+U2)= 5-1=4$ (dove 1 è la dimensione del sottospazio intersezione). Quindi devi togliere un vettore perchè sai che sarà combo degli altri 4, e tolto questo otterai il tuo sottospazio somma di dimensione 4, formato da 4 vettori linearmente indipendenti. Quello che dici tu, ovvero la somma diretta va fatto solo quando l' intersezione è vuota, in quel caso $dimU1+dimU2=dim(U1+U2)$ Spero di non aver fatto errori nella spiegazione.
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