Sottospazi vettoriali

[wylde67]

Salve devo sostenere un esame tra poco e non mi è chiaro come si fa a determinare se dei sottoinsiemi sono sottospazi... Ecco qualche esempio che, se spiegato, potrebbe aiutarmi moltissimo.
Stabilire, giustificando la risposta, quali dei seguenti sottoinsiemi di R3 sono sottospazi:
V1 = {(x, y, z) 2 R3/x = y = z}
V3 = {(x, y, z) 2 R3/z = x2}
V4 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + 2z = 0}
La prima condizione mi è chiara (quella dello 0 appartenente allo spazio), sono le altre 2 che mi creano confusione. Non so se puo servire comunque non abbiamo fatto i sistemi lineari. Grazie mille dell'aiuto

[wylde67]

* il 2 che si trova nelle definizioni ovviamente è ∈, ho sbagliato a scrivere

[Kashaman]

Ti faccio vedere per il primo, gli altri devi svolgerli tu. Tanto per darti una linea guida.
$0 \in V_1$ infatti basta porre $x=y=z=0$.
Siano ora $\alpha , \beta \in RR$ e $v_1 = (x,y,z) $ e $v_2 = (a,b,c)$ elementi di $V_1$

Abbiamo che $\alpha v_1 +\beta v_2 = (\alpha x , \alpha y , \alpha z ) + (\beta a , \beta b , \beta c ) = ( \alpha x + \beta a , \alpha y + \beta b , \alpha z + \beta c) \in V$ perché
$\alpha x + \beta a \in RR$
$\alpha y + \beta b$
$\alpha z + \beta c \in RR$.
Per la caratterizzazione dei sottospazi $V_1$ è un sottospazio.
Nota in particolare che è finitamente generato, una base di $V_1 $ può esser data dal vettore $(1,1,1)$ (cerca di spiegarti il perché)
ciao !

[vittorino70]

Forse andrebbe precisato che è:
\(\displaystyle v_1=(x,x,x), v_2=(a,a,a) \)
Pertanto risulta :
\(\displaystyle v=\alpha v_1+\beta v_2=(\alpha x+\beta a,\alpha x+\beta a,\alpha x+\beta a) \)
e dunque \(\displaystyle v\in V_1 \) perché soddisfa la richiesta condizione \(\displaystyle x=y=z \)