Sottospazi, sono i medesimi?

[fab_mar9093]

Salve, domanda breve che nasce da un piccolo dubbio.
Ho un sottospazio di \(\mathbb{R}^n\), lo stesso insieme definito però in \(\mathbb{R}^{m+n}\) è un sottospazio di \(\mathbb{R}^{m+n}\), quale relazione lo lega al primo?posso dire che coincidono?(direi di no.. eppure la base generante è la stessa, ma i vettori che li conpongono non hanno le stesse dimensioni).
Dunque??...

Grazie!

[killing_buddha]

Non c'e' un modo canonico (ovvero indipendente da qualche scelta) di identificare $\mathbb R^n$ e una sua immagine isomorfa in $\mathbb R^{n+m}$. Fissa una base di $\mathbb R^n$, e qualsiasi $n$-upla di vettori $\mathbb R^{n+m}$-lin. indip., manda gli uni negli altri.

[fab_mar9093]

"killing_buddha":Non c'e' un modo canonico (ovvero indipendente da qualche scelta) di identificare $\mathbb R^n$ e una sua immagine isomorfa in $\mathbb R^{n+m}$. Fissa una base di $\mathbb R^n$, e qualsiasi $n$-upla di vettori $\mathbb R^{n+m}$-lin. indip., manda gli uni negli altri.

per esempio \((x_i,y_i,0)\in \mathbb{R}^{3}\quad \text{per} \quad i=1,\dots,n \quad \text{fissata la base} \quad \big\{(1,0,),(0,1)\big\} \quad\text{di}\quad \mathbb{R}^2\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_i\\
y_i
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_i\\
y_i\\
0
\end{pmatrix}
\]
tu mi dici che tale identificazione è dipende da qualche scelta, a cosa ti riferisci?
e cosa comporta?

[killing_buddha]

tale identificazione è dipende da qualche scelta, a cosa ti riferisci?
e cosa comporta?

Dipende appunto dalla scelta delle basi che hai fatto. prendi un'altra base su $\mathbb R^2$, avrai diverse coordinate per i vettori della base canonica. Questo comporta che non c'e' (appunto ) un modo univoco di immergere $\mathbb R^n$ in un $\mathbb R^{N>n}$.