Sottospazi generati e dimensione

[mkel91]

salve, avrei bisogno di un aiuto per un esercizio che ho svolto ma non so se corretto:

ho 3 vettori v=(1,2,3), u=(4,-1,5), w=(-2,5,1) e devo trovare il sottospazio L generato da essi e la sua dimensione

ho proceduto in questo modo:

ho calcolato il rango della matrice associata:

$((1,2,3),(4,-1,5),(-2,5,1))$

dato che il determinante della matrice è 0, il rango di questa matrice è 2, infatti esiste un minore del 2 ordine non nullo e il suo orlato è nullo; quindi i vettori sono linearmente dipendenti.

Dopo di che controllo quali vettori siano linearmente indipendenti trovando il rango delle matrici dei vettori v,u e u,w e sono linearmente indipendenti a due a due in quanto entrambe le matrici hanno rango massimo (rag=2);

ora sono confuso su questo, lo spazio generato in questo caso è tutto r3?

e dato che il vettori sono linearmente indipendenti a 2 a 2 la dimensione dello spazio è 2?

grazie mille per l'aiuto

[DavideGenova1]

"[e-mail]":dato che il determinante della matrice è 0, il rango di questa matrice è 2, infatti esiste un minore del 2 ordine non nullo e il suo orlato è nullo; quindi i vettori sono linearmente dipendenti.

Giusto e giusto pure il rango 2 per il principio dei minori orlati.

"[e-mail]":e dato che il vettori sono linearmente indipendenti a 2 a 2 la dimensione dello spazio è 2?

Diciamo piuttosto che la dimensione dello spazio colonna è appunto il rango della matrice, cioè il massimo numero di vettori linearmente dipendenti che puoi scegliere, in questo caso appunto 2. Se prendi per esempio \(\mathbf{v}=(1,2,3), \mathbf{u}=(4,-1,5)\) essi sono una base dello spazio colonna (anche se, presi per esempio \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{w}\), questi non fossero indipendenti).
Ciao!

[mkel91]

quindi un sottospazio generico L generato dai tre vettori v, u, w è appunto un spazio formato dai vettori v e u oppure v e w, e la dimensione di questo sottospazio è 2, se non sto sbagliando nel ragionare..

Grazie mille per l'aiuto..

[DavideGenova1]

Se uno spazio vettoriale, come è un sottospazio, ha dimensione $n$ qualunque insieme di $n$ vettori che siano linearmente indipendenti basta a generarlo e ne è quindi una base. Qualunque altro vettore appartenente allo spazio in questione, aggiunto alla base, forma con essa un insieme di $m>n$ vettori linearmente dipendenti, che sono ancora naturalmente generatori dello spazio in esame.
Nel tuo caso specifico sia \(\{\mathbf{v},\mathbf{u}\}\) sia \(\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}\) sia \(\{\mathbf{u},\mathbf{w}\}\) sono insiemi di vettori linearmente indipendenti e quindi bastano a generare il tuo sottospazio, ne sono delle basi.
Se però avessi per esempio il sottospazio \(U=\text{Span}(\mathbf{v},\mathbf{u},\mathbf{z})\subset\mathbb{R}^3\) generato da \(\mathbf{v}=(1,2,3),\mathbf{u}=(4,-1,5),\mathbf{z}=(2,4,6)\) ne sarebbero delle basi \(\{\mathbf{v},\mathbf{u}\}\) e \(\{\mathbf{u},\mathbf{z}\}\), ma non \(\{\mathbf{v},\mathbf{z}\}\) perché quest'ultimo è un insieme di vettori linearmente dipendenti, che non bastano a generare $U$.