Sottospazi e basi per le intersezioni di sottospazi

[Cbr900]

Buon giorno,
sono nuovo nel forum e spero di usare le sintassi corrette.
Ci è stato proposto il seguente esercizio che sfortunatamente non abbiamo però mai trattato in esercitazione:
dati i sottospazi V={(x,y,z,t) in R4: x+y-z-t=0} e W={(1,2,0,-1),(1,0,1,4)} determinare una base per V intersezione W.
Come già detto, non abbiamo mai affrontato questi problemi quindi la cosa mi ha un po’ spiazzato. Io ho cominciato con il ragionare così:
trovo una base di V e una di W, poi (e da qui parte l’oscurità) dovrò trovare la dimensione della loro intersezione e una sua base.
Una base di V è, salvo miei errori (è corretta?):
$( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0, -1 , 0),( 0, 0, 0, -1 ) ) $
Che è simile alla base canonica con i segni di z e t cambiati.
Questa matrice ha det=1 quindi ha rango massimo, quindi i vettori sono linearmente indipendenti, come giusto che sia.
Provando poi la dipendenza lineare dei vettori di W scritti in colonna, trovo che sono linearmente indipendenti e quindi posso usarli come base.
Ora non so come procedere: devo trovare V+W e le sue dimensioni, le dimensioni di W e le dimensioni della loro intersezione. Fatto ciò devo scriverne una base. Ma Come?
Ringrazio Anticipatamente

[Quinzio]

"Cbr900":Buon giorno,
sono nuovo nel forum e spero di usare le sintassi corrette.
Ci è stato proposto il seguente esercizio che sfortunatamente non abbiamo però mai trattato in esercitazione:
dati i sottospazi V={(x,y,z,t) in R4: x+y-z-t=0} e W={(1,2,0,-1),(1,0,1,4)} determinare una base per V intersezione W.
Come già detto, non abbiamo mai affrontato questi problemi quindi la cosa mi ha un po’ spiazzato. Io ho cominciato con il ragionare così:
trovo una base di V e una di W, poi (e da qui parte l’oscurità) dovrò trovare la dimensione della loro intersezione e una sua base.
Una base di V è, salvo miei errori (è corretta?):
$( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0, -1 , 0),( 0, 0, 0, -1 ) ) $
Che è simile alla base canonica con i segni di z e t cambiati.
Questa matrice ha det=1 quindi ha rango massimo, quindi i vettori sono linearmente indipendenti, come giusto che sia.
Provando poi la dipendenza lineare dei vettori di W scritti in colonna, trovo che sono linearmente indipendenti e quindi posso usarli come base.
Ora non so come procedere: devo trovare V+W e le sue dimensioni, le dimensioni di W e le dimensioni della loro intersezione. Fatto ciò devo scriverne una base. Ma Come?
Ringrazio Anticipatamente

La matrice corretta che volevi fare tu sarebbe questa:

$( ( -1 , 0 , 0 ,1 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ),( 0 , 0, 1 , 1),( 0, 0, 0, 0) ) $.

Ma comunque non ci è utile per l'intersezione $W\nnU$.

Devi trovare il $ker(W)$ e quindi costruisci questo sistema:

$((\bbv_1),(\bbw_1),(\bbw_2),(0))X=\bb0$

dove $v_1$ è la base di $ker(V)$ e $w_1,w_2$ la base di $ker(W)$

Le soluzioni $X$ sono l'intersezione.

Forse non ti è molto chiaro perchè si fa così. Prova a pensarci su...